Комбинаторика, число комбинаций цифр для пароля

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521792 писал(а):

Пробовал применить $\binom{s+4}{4}=C_{s+4}^4$ к суммам от $10$ и выше, но получается, что в этом случае закономерность не работает..

Для второй части(нисходящий тренд для сумм от 36 до 45) надо взять $\binom{49-s}{4}$.

А если взять не десятичную систему счисления, а 23-ричную, то будет работать для всех сумм от 0 до 22.

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521796 писал(а):

Для второй части(нисходящий тренд для сумм от 36 до 45) надо взять $\binom{49-s}{4}$.

А если взять не десятичную систему счисления, а 23-ричную, то будет работать для всех сумм от 0 до 22.

Спасибо! Но как обосновать теоретически? Как можно сравнить возможное количество комбинаций для сумм 36 и 37 при заданных условиях? Не перебирая все возможные комбинации и считая суммы цифр в каждой (я пока только так могу решить, но такое решение не принимается)..

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521797 писал(а):

Но как обосновать теоретически?

Не знаю как строго обосновать, но предложенный мною путь к решению вроде не сильно длинен.

Для первой 5-ки(сумма 36) $\binom{49-36}4-1$.

Для второй 5-ки(сумма 37) $\binom{49-37}4$.

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521799 писал(а):

prrrr в сообщении #1521797 писал(а):

Но как обосновать теоретически?

Не знаю как строго обосновать, но предложенный мною путь к решению вроде не сильно длинен.

Для первой 5-ки(сумма 36) $\binom{49-36}4-1$.

Для второй 5-ки(сумма 37) $\binom{49-37}4$.

Да, спасибо Вам большое! Просто не понятно почему именно $s+4$ и $4$. У Вас тоже эта $4$ подбором получилась?

-- 08.06.2021, 17:20 --

xagiwo в сообщении #1521444 писал(а):

но сумма цифр — 37. Вот бы во второй пятёрке сумма цифр тоже была 36, тогда с такими ограничениями на цифры сразу было бы понятно, где больше вариантов! Но я несу чепуху — где это видано, чтобы число с суммой цифр 37 вдруг стало числом с суммой цифр 36?

Подскажите пожалуйста, как дальше? Я что-то совсем запутался.. Кроме того, что можно вычесть $1$ из одного из разрядов ничего в голову не приходит((

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521801 писал(а):

Просто не понятно почему именно $s+4$ и $4$. У Вас тоже эта $4$ подбором получилась?

Я знаю некоторые комбинаторные свойства. Если речь идёт не о 5 цифрах, а о 4, то в аналогичной формуле будет тройка.

[prrrr]

Yadryara в сообщении #1521804 писал(а):

Я знаю некоторые комбинаторные свойства. Если речь идёт не о 5 цифрах, а о 4, то в аналогичной формуле будет тройка.

Если можно, рассажите пожалуйста об этих комбинаторных свойствах? Почему при 5 цифрах получается 4?

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1521801 писал(а):

Кроме того, что можно вычесть $1$ из одного из разрядов ничего в голову не приходит

Ну, возьмём всевозможные числа, которые могут получиться во второй пятёрке, и вычтем у каждого из них единицу из последнего разряда. Может после этого получиться чисел больше, чем всевозможных чисел в первой пятёрке?

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1521819 писал(а):

Ну, возьмём всевозможные числа, которые могут получиться во второй пятёрке, и вычтем у каждого из них единицу из последнего разряда. Может после этого получиться чисел больше, чем всевозможных чисел в первой пятёрке?

Получается, что нет. Т.к. в первой пятерке будут комбинации у которых есть 0 на 2ой, 3ей, 4ой и 5ой позиции, а во второй пятерке только комбинации у которых 0 на 5ой позиции (вычли 1 из последнего разряда, который для суммы 37 не может быть меньше 1). Подскажите пожалуйста, я правильно понял логику?

[xagiwo]

Если честно, не знаю Мне сложно понять вашу мысль, не видно, откуда конкретно следует доказываемое. Мне кажется, Вы придаёте нулям слишком большое значение, чисел с нулём у нас всего $5$ — $09999, 90999$ и т.д., они не важны.

В первой пятёрке может быть быть любое из чисел с суммой цифр $36$ (кроме $09999$), а во второй (после вычитания единицы) — …

[prrrr]

xagiwo в сообщении #1521839 писал(а):

Если честно, не знаю Мне сложно понять вашу мысль, не видно, откуда конкретно следует доказываемое. Мне кажется, Вы придаёте нулям слишком большое значение, чисел с нулём у нас всего $5$ — $09999, 90999$ и т.д., они не важны.

В первой пятёрке может быть быть любое из чисел с суммой цифр $36$ (кроме $09999$), а во второй (после вычитания единицы) — …

Да, что-то я зациклился немного на этих нулях..
Получается для первой пятерки любое из диапазона от $18999$ до $99990$ с суммой $36$, для второй (после вычитания единицы) любое из диапазона от $19998$ (минимальное для суммы цифр $37$ было $19999$, после вычитания $1$ стало $19998$) до $99990$ так же с суммой $36$. Получается, что т.к. суммы цифр одинаковы, но диапазон для второй пятерки меньше, то количество возможных комбинаций цифр для второй пятерки меньше, чем для первой.

[xagiwo]

prrrr в сообщении #1521848 писал(а):

для второй любое из диапазона от 19998 до $99990$

Не любое, но в остальном верно

[Yadryara]

prrrr в сообщении #1521811 писал(а):

Если можно, рассажите пожалуйста об этих комбинаторных свойствах? Почему при 5 цифрах получается 4?

Ну здесь можно использовать стандартный приём: провести аналогичные рассуждения(и небольшой перебор) для меньшего количества цифр в числе: для 2-х, 3-х и 4-х.

Если делать это добросовестно и не торопясь, уверен: Вам станет понятно, почему формулы именно такие.

[prrrr]

xagiwo
Yadryara
Спасибо огромное за помощь! Разобрался, задача решена)