Единичный функтор

[Qlin]

Если определить единичный функтор $1_C : \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ таким образом, что для любого функтора $\mathrm{F}: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ выполняется $\mathrm{F}(1_{C} (f))=\mathrm{F}(f)$, можно ли доказать, что $1_{C} (f) = f$ ?

Идей нет. Определение функтора такое:
$\mathrm{F}(f:A \to B)=\mathrm{F}(f):\mathrm{F}(A)\to \mathrm{F}(B)$
$\mathrm{F}(1_A)=1_F(A)$
$\mathrm{F}(g \circ f)=\mathrm{F}(g) \circ \mathrm{F}(f)$

[пианист]

А если в $\mathbf D$ всего один объект?

[Slav-27]

Попробуйте подобрать такой $F$, чтобы первое равенство свелось ко второму.

[Qlin]

Мне кажется, можно рассуждать как-то так: в силу произвольности $\mathrm{F}$ можно взять инъективный функтор в качестве $\mathrm{F}$. Тогда из равенства образов следует равенство прообразов: $\mathrm{F}(1_{C} (f))=\mathrm{F}(f) \Rightarrow 1_{C} (f) = f$
Интересно, а к функторам применимо классическое определение инъективности ?

пианист в сообщении #1521001 писал(а):

А если в $\mathbf D$ всего один объект?

Тогда все объекты отображаются в него. Что это может дать ?

[пианист]

Ну просто тогда $\mathrm{F}(1_{C} (f))=\mathrm{F}(f)$ по любому выполнится же.
Или я что-то не понял?

upd
А, нет, сори, был неправ (перепутал стрелку с объектом).
Тогда так: случай, когда в $\mathbf D$ и объект один, и стрелка одна.

[Slav-27]

$\mathbf D$ зафиксирована или нет? Я думал, что нет, а пианист думает, что да.

[пианист]

Если $\mathbf D$ любая, то ведь можно взять и $\mathbf C$, а в качестве $\mathrm F$ тот, который все в себя переводит (не знаю, как такой называется).

[Qlin]

$\mathbf D$ любая, поскольку речь идёт о категории $\mathbf {Cat}$, в которой роль стрелок играют функторы.

пианист в сообщении #1521024 писал(а):

можно взять и $\mathbf C$, а в качестве $\mathrm F$ тот, который все в себя переводит (не знаю, как такой называется).

Это и есть единичный функтор.