Электрическое поле плоскости с круглым отверстием радиуса R

[Rooftrellen]

Здравствуйте, есть задача: Плоскость с круглым отверстием радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью? Найти напряженность $E$ электрического поля на оси отверстия как функцию расстояния $l$ до его центра.
Компоненту напряженности по оси, проходящей через центр отверстия, я нашел, и решил из интереса найти компоненту напряженности по вертикали.
Искал следующим образом:

$ dE_y = dE_1\cos_1(\alpha) - dE_2\cos_2(\alpha)$

$ \cos_1(\alpha) = \frac{r}{\sqrt{l^2 + r^2}}$

$ \cos_2(\alpha) = \frac{h}{\sqrt{l^2 + h^2}}$

$ dE_y =kr \frac{dq_1}{(l^2 + r^2)^{3/2}} - kh \frac{dq_2}{(l^2 + h^2)^{3/2}}$

$dq_1 = \sigma 2\pi rdr$

$dq_2 = \sigma 2\pi hdh$

$ dE_y =k\sigma 2\pi \frac{r^2dr}{(l^2 + r^2)^{3/2}} - k\sigma 2\pi \frac{h^2dh}{(l^2 + h^2)^{3/2}}$

$E_y = 2k\pi\sigma (\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{r^2dr}{(l^2 + r^2)^{3/2}} - \int\limits_{0}^{R} \frac{h^2dh}{(l^2 + h^2)^{3/2}})$

Подскажите, в чем ошибка?

[мат-ламер]

Rooftrellen в сообщении #1520809 писал(а):

Подскажите, в чем ошибка?

А кто сказал, что ошибка? Вы пришли к естественному выводу, что поле вашей пластины есть разность от поля сплошной пластины и поля диска, что ясно и так с самого начала. (Формулы ваши я не проверял. Даже не понял, что буква $k$ обозначает.)

[Rooftrellen]

А там интеграл не сходится, в этом и ошибка. По идее он должен быть равен нулю(мне так кажется). А $k$ это коэффициент пропорциональности.

[мат-ламер]

Rooftrellen в сообщении #1520809 писал(а):

Компоненту напряженности по оси, проходящей через центр отверстия, я нашел, и решил из интереса найти компоненту напряженности по вертикали.

Вы бы чертёжик нарисовали. Иначе непонятно, почему у вас две оси, если в задаче всего одна ось? И почему те расчёты, что вы привели, вы делаете из интереса? Вроде, это как раз то, что вам надо найти в задаче. И когда пишете кучу формул подряд, хорошо бы эти формулы разбавлять словами. Вы бы поняли учебник, где подряд идут несколько формул без всяких пояснений, в том числе без пояснений, что какая буква обозначает и причём без всяких чертежей?

-- Вт июн 01, 2021 22:34:39 --

Немного стало понятно. Вы что, находите компоненту поля вдоль оси, которая параллельно пластине? Зачем вы это делаете? Там все силы уравновешиваются. А если вдоль оси, которая перпендикулярна пластине, то в числителе дробей там другое должно стоять. Вроде как ерундой занимаетесь, если я правильно вас понял. А понять вас трудно.

-- Вт июн 01, 2021 22:41:21 --

мат-ламер в сообщении #1520818 писал(а):

Вы что, находите компоненту поля вдоль оси, которая параллельно пластине?

Там суммируются вектора, которые уравновешиваются. А вы суммируете просто числа.

[Rooftrellen]

Цитата:

Вы что, находите компоненту поля вдоль оси, которая параллельно пластине? Зачем вы это делаете? Там все силы уравновешиваются.

Да на бумаге хотел доказать, а то, что нужно было работать с векторами, не сообразил.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1520818 писал(а):

Там все силы уравновешиваются

Вообще-то не всё уравновешивается. Логично постановку задачи так сформулировать. Есть равномерно заряженный с плотностью $\sigma$ диск радиуса $R$ . В диске вырезано отверстие радиуса $r$. Центр отверстия совпадает с центром диска. Найти напряжённость электрического поля в плоскости отверстия при предположении, что $R \to \infty$ . (Если вдруг там возникнут интегралы, которые не берутся в элементарных функциях, то можно найти первое приближение при условии, что точка, в которой ищется напряжённость поля, находится близко к центру диска.)

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1521055 писал(а):

Логично постановку задачи так сформулировать. Есть равномерно заряженный с плотностью $\sigma$ диск радиуса $R$ . В диске вырезано отверстие радиуса $r$. Центр отверстия совпадает с центром диска. Найти напряжённость электрического поля в плоскости отверстия при предположении, что $R \to \infty$ .

В исходной задачи нужно было найти поле на оси, вообще-то.

Rooftrellen
Известно, что нормальная компонента поля от куска равномерно заряженной плоскости $E_{\perp}=2\pi\sigma\Omega$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым этот кусок виден из точки, в которой ищем поле.
Попробуйте это самостоятельно показать.