Помогите разобраться в формуле

[caradhras]

Здравствуйте!
Я не особо силен в математике, но по долгу службы надо посчитать одну штуку, пытался разобраться сам, но не могу понять одну вещь, пробовал гуглить, но так ничего и не могу найти.
У меня есть два массива данных (около 35000 значений в каждом массиве), их надо прогнать по методике.

Первая формула:
"При ступенчатой аппроксимации среднеквадратическая погрешность восстановления одного диагностируемого параметра может принимать максимальное значение:"
$ \sigma_{\max} = \sqrt{M[\left\{ x(t+\Delta t) - x(t) \right\}^2]}, $

где $M[..]$ – математическое ожидание; $\Delta t$ – интервалы между моментами опроса параметра x .

В итоге я получаю одно значение для каждого массива.

Но есть следующая формула, по поводу которой есть вопросы:

$ \sigma_{\max}^2 = 2[R_x(0) - R_x(\Delta t)], $

где $R_x(0)$ и $R_x(\Delta t)$ - автокорреляционные функции при $0$ и $\Delta t$

В данном случае, аргументы корреляционных функций - это не задержка, а период сбора информации, то есть обозначение ряда, который берем в расчёте, если я правильно понял.
Далее считаю порядку:
1. Находим автокорреляционные функции R_x(0) и R_x(\Delta t). Получаем два числовых ряда (массива), которые если отложить на график, то получится две затухающих кривых (коррелограмм).
2. Находим скалярную разность этих рядов.
3. Умножаем на 2 каждый элемент массива.
4. Получается массив \sigma_{\max}^2.
Это и получается результат расчета формулы? Ну точнее говоря, там предполагается массив данных или одиночное число? И можно ли посчитать формулу (2), просто возведя формулу (1) в квадрат? Но если просто возвести в квадрат, то получится одиночное число. В общем у меня тут возникла путаница, подскажите, пожалуйста, как правильно?


Если что, то сама методика расчета изложена тут: https://disk.yandex.ru/i/ATVCebaxYCKhJA

[svv]

Я буду обозначать математическое ожидание чертой сверху, надеюсь, что это позволит уменьшить число скобок.

Вашу первую формулу можно записать и преобразовать так:
$\sigma_{\max}^2 = \overline{(x(t+\Delta t) - x(t))^2}=\overline{x^2(t+\Delta t)}+\overline{x^2(t)}-2\,\overline{x(t)\,x(t+\Delta t)}$
По определению автокорреляционной функции
$\overline{x^2(t+\Delta t)}=\overline{x^2(t)}=R(0)$
$\overline{x(t)\,x(t+\Delta t)}=R(\Delta t)$
Получаем Вашу вторую формулу $2\,(R(0)-R(\Delta t))$. Так что в скобках всё-таки сдвиг, и Вам надо получить не два массива, а только два числа — значения автокорреляционной функции при сдвигах $0$ и $\Delta t$.
Выходит, это две эквивалентные формулы, решайте сами, какая из них удобнее.

[caradhras]

svv
Большое спасибо Вам за разъяснение! Вы мне очень помогли.
Но у меня есть еще один вопрос.
Дальше в методике есть похожая формула, только вместо второй автокорреляции $R(\Delta t)$ берется интеграл:

$\sigma^2 = 2[R(0)-\frac{1}{\Delta t}\int\limits_{0}^{t}R(\tau) d \tau],$
где $\tau$ - задержка в автокорреляционной функции.
Так как цикл опроса $\Delta t$ при любой автокорреляционной функции всегда значительно меньше времени ее затухания, то интересующие значения лежат в окрестности нулевого аргумента $R(0)$.

Собственно, вопрос в том, в чем тут смысл интеграла? Границы интегрирования говорят, что мы берем массив от 0 до t. Если измеряемый параметр в статье обозначен как $x(t)$, а за $\Delta t$ берутся интервалы между моментами опроса параметра $x$, то t - это весь массив данных? Или же эта граница от 0 до t означает границу интегрирования от на отрезке $\Delta t$?

[svv]

Да, похоже, что верхний предел должен быть $\Delta t$. Тогда выражение
$\frac{1}{\Delta t}\int\limits_{0}^{\Delta t}R_x(\tau)\;d\tau$
будет означать усреднение $R_x$ по всем сдвигам от $0$ до $\Delta t$. Здесь $\tau$ — переменная интегрирования, её можно обозначить как угодно (лишь бы обозначение не совпадало с другими уже введёнными).

Сразу скажу, что совершенно не понимаю, как авторы получают формулу (3). При интегрировании $\tau^m$ должен был бы появиться множитель $\frac 1{m+1}$, а его нет. Зато есть непонятно откуда взявшаяся двойка.