Матрицы преобразования подобия

[artempalkin]

Пусть даны две подобные матрицы $A$ и $B$. Как известно, матрица преобразования подобия для этих матриц не определена однозначно. То есть матрицы преобразования подобия для этих двух конкретных матриц - это некоторый класс матриц. Вопрос: какие характеристики объединяют матрицы в этом классе?

Очевидно, что все они будут невырождены.
На определитель нет никаких ограничений, так как если $C$ - МПП, то и $\alpha C$ - МПП (хотя в действительном пространстве четной размерности, может быть, должен совпадать знак определителя?).
Вообще же эти характеристики существенно зависят от матриц $A$ и $B$, так как в случае $A=B=I$ этот класс содержит все невырожденные матрицы.

В общем, любым комментариям буду рад :)

[svv]

Допустим, $B=S_1^{-1}AS_1=S_2^{-1}AS_2$. Тогда $S_1S_2^{-1}A S_2S_1^{-1}=A$. Обозначим $P=S_2S_1^{-1}$, тогда $P^{-1}AP=A$, или $AP=PA$. То есть $S_1$ и $S_2$ отличаются на матрицу $P$ (в смысле $S_2=PS_1$), которая коммутирует с $A$.

И наоборот, если невырожденная матрица $P$ коммутирует с $A$, и $S_1^{-1}AS_1=B$, то и $S_2^{-1}AS_2=B$, где $S_2=PS_1$.

-- Вс май 30, 2021 22:35:51 --

artempalkin в сообщении #1520541 писал(а):

Вообще же эти характеристики существенно зависят от матриц $A$ и $B$, так как в случае $A=B=I$ этот класс содержит все невырожденные матрицы.

Как теперь очевидно, потому что с $I$ коммутирует любая матрица того же размера (плюс дополнительное требование невырожденности).

[novichok2018]

Жордановы формы будут одинаковые

[мат-ламер]

artempalkin в сообщении #1520541 писал(а):

В общем, любым комментариям буду рад :)

Если любым, то посмотрите Ф.Р.Гантмахер, "Теория матриц", гл.8, пар.1. Там рассматривается матричное уравнение $AX=XB$ .

[artempalkin]

novichok2018 в сообщении #1520709 писал(а):

Жордановы формы будут одинаковые

Жордановы формы матриц преобразования подобия будут одинаковыми? То есть они сами по себе будут подобны? Что-то мне кажется, что нет.

Например, если $C$ - МПП, то и $2C$ - МПП, но они не будут подобны.

-- 01.06.2021, 10:36 --

svv в сообщении #1520555 писал(а):

И наоборот, если невырожденная матрица $P$ коммутирует с $A$, и $S_1^{-1}AS_1=B$, то и $S_2^{-1}AS_2=B$, где $S_2=PS_1$.

Да, спасибо!
Тут интересно. То есть если матрица перехода коммутирует с матрицей оператора, то тогда она будет матрицей перехода между базисами, в которых матрица оператора одинакова (причем в любых двух базисах, где она есть матрица перехода). Не совсем понимаю, что это означает с "геометрической" (операторной, скажем) точки зрения...

[novichok2018]

У подобных матриц Жордановы формы одинаковы. Гантмахер - очень правильный совет. Вообще подобие матриц-это частный случай более общей теории операторов преобразования, если интересует, что дальше.

[svv]

novichok2018
В обозначениях
$B=S^{-1}AS=T^{-1}AT$
автора интересуют не общие свойства подобных матриц $A$ и $B$, а общие свойства двух различных матриц $S$ и $T$, преобразующих $A$ в $B$.

[novichok2018]

Есть такой общий факт в теории операторов преобразования, что если для пары операторов известен хоть один ОП и коммутант с одним из операторов, то можно описать все ОП. В данном случае: если известен для пары матриц один оператор подобия, то все остальные явно выписываются через него и матрицы, коммутирующие с исходными, для которых устанавливается подобие.

[svv]

Ну я так и написал.