Отношение радиусов орбит

[profilescit]

Даны две планеты которые двигаются по круговым орбитам вокруг одной звезды.

Зависимость углового расстояния между планетой и звездой от времени, если смотреть с другой планеты, изображена на рисунке. (мы не знаем какие единицы времени используются)



Найдите отношение радиусов планет $k$.


Мне не совсем понятно что в целом изображено на графике. Можно ли это трактовать как $(\omega_1 - \omega_2) t $?

Если найдем из графика отношение угловых скоростей, можно потом легко найти $k = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^{\frac{2}{3}}$

Но опять же, как это сделать?

[lel0lel]

Я бы нарисовал треугольник со сторонами $r_1, r_2$ и углом между радиусами
$(\omega_1-\omega_2)t$. По теореме косинусов можно найти третью сторону, а по теореме синусов угловое расстояние между звездой и одной из планет.

Кстати, если наблюдение ведётся с планеты с большим радиусом орбиты $r_2>r_1,$ то максимальное угловое расстояние удовлетворяет $\sin \varphi_{max}=r_1/r_2$. Надо бы узнать в чём дан угол на графике, в градусах или радианах.

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1520392 писал(а):

Найдите отношение радиусов планет $k$.

Может быть, орбит планет?

profilescit в сообщении #1520392 писал(а):

Мне не совсем понятно что в целом изображено на графике. Можно ли это трактовать как $(\omega_1 - \omega_2) t $?

Нет, нельзя (наверное, очевидно, что в этом случае зависимость должна была бы быть линейной).

Попробуйте:
1) посмотреть, что такое "попятное движение" реальных планет в Солнечной системе;
2) обратить внимание на то, что угловое расстояние ограничено (и не имеет разрывов) и подумать, что это значит;
3) определить интервалы времени между экстремумами графика и интерпретировать отношение этих интервалов с учетом п.2.

[profilescit]

lel0lel в сообщении #1520394 писал(а):

Кстати, если наблюдение ведётся с планеты с большим радиусом орбиты $r_2>r_1,$ то максимальное угловое расстояние удовлетворяет $\sin \varphi_{max}=r_1/r_2$. Надо бы узнать в чём дан угол на графике, в градусах или радианах.

А это уже следующий пункт задачи, узнать единицы измерения по вертикали

-- 29.05.2021, 14:27 --

Pphantom в сообщении #1520396 писал(а):

Попробуйте:
1) посмотреть, что такое "попятное движение" реальных планет в Солнечной системе;
2) обратить внимание на то, что угловое расстояние ограничено (и не имеет разрывов) и подумать, что это значит;
3) определить интервалы времени между экстремумами графика и интерпретировать отношение этих интервалов с учетом п.2.

Спасибо, посмотрю! Вернусь с выводами. Надеюсь и с решением.

[lel0lel]

profilescit в сообщении #1520398 писал(а):

А это уже следующий пункт задачи, узнать единицы измерения по вертикали

Всё-таки это не радианы, иначе значения больше $\pi$ отмечены на графике.

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1520398 писал(а):

А это уже следующий пункт задачи, узнать единицы измерения по вертикали

На самом деле это попросту не нужно для ответа на исходный вопрос.

[profilescit]

Получил функцию $\sin{\varphi} = \frac{\sin{\Delta \omega t}}{\sqrt{1 + k^2 - 2 k \cos{\Delta \omega t}}}$ где $k = \frac{r_1}{r_2}$

И дальше исследовать эту функцию на максимум, минимум?

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1520478 писал(а):

И дальше исследовать эту функцию на максимум, минимум?

Не надо. Если что - это более-менее типовая задача для 9 класса (для олимпиад по астрономии), тут все намного проще.

[lel0lel]

Можно проще, если воспользоваться советом

Pphantom в сообщении #1520396 писал(а):

определить интервалы времени между экстремумами графика и интерпретировать отношение этих интервалов с учетом п.2.

Нарисуйте чертёж, на котором планета с большим радиусом орбиты (наблюдательная) неподвижна. А радиус вектор другой планеты вращается с угловой скоростью $\omega_2-\omega_1$ или быть может $\omega_2+\omega_1$. Найдите какое положение должен занимать меньший радиус-вектор, чтобы угловое расстояние было экстремальным. Найдите время движения маленького радиус-вектора от минимума углового расстояния к максимуму и наоборот. Эти времена будут пропорциональны соответствующим длинам дуг малой орбиты.

[Pphantom]

lel0lel в сообщении #1520480 писал(а):

Нарисуйте чертёж,

Да, именно так. Причем конкретное выражение для относительной угловой скорости несущественно (хотя его и можно найти), достаточно лишь понять, является наблюдаемая планета внешней или внутренней для наблюдателя (т.е. выполнить мой п.2 ).

[profilescit]

Для максимального углового расстояния, радиуса должны составить прямоугольный треугольник (при чем больший радиус будет гипотенузой). А для минимума - тоже самое, только оба радиуса будут катетами?

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1520483 писал(а):

Для максимального углового расстояния, радиуса должны составить прямоугольный треугольник (при чем больший радиус будет гипотенузой).

Да.

profilescit в сообщении #1520483 писал(а):

А для минимума - тоже самое, только оба радиуса будут катетами?

Нет.

Я не случайно включил в список действий п.1. Все-таки очень рекомендую его реализовать.

[sergey zhukov]

profilescit
Да, это взгляд на внутреннюю планету с внешней, а не наоборот. Если бы было наоборот, то на кривой были бы разрывы, в которых угловой размер из положительного переходил бы в отрицательный, либо вообще не было бы отрицательных угловых размеров.

Легко заметить, что от угловых скоростей планет и даже от их знака зависит только временной масштаб по горизонтальной оси кривой, который нам как раз не дан. Так что можно для простоты угловую скорость внешней планеты, с которой ведется наблюдение, положить равной нулю.

Если отношение радиусов планет было бы очень большим, т.е. внешняя планета была бы очень далеко от внутренней, то кривая углового размера представляла бы собой почти чистую синусоиду, а ее максимумы и минимумы были бы расположены через равные участки времени. Если же орбиты планет почти равны по размеру, то кривая представляла бы собой почти пилу, где один участок практически вертикален, а другой соединял бы их наклонной прямой. Ее максимумы и минимумы почти совпадали бы по времени. Эта кривая - нечто среднее между пилой и синусом.

Нужно посмотреть отношение временных интервалов между максимумами и минимумами и сравнить его с расчетным.

[profilescit]

Pphantom в сообщении #1520484 писал(а):

Я не случайно включил в список действий п.1. Все-таки очень рекомендую его реализовать.

Я смотрел в интернете про попятное движение планет. Пройдя мимо сайтов с откровенной астрологией, вроде стало понятно что это и как наблюдается.

Еще попытка, минимум будет когда планеты и звезда выстроятся в одну линию?

[lel0lel]

Минимум аналогичен максимуму, только угол отрицательный.