Теория категорий, начальные и терминальные объекты

[DieselMachine]

Добрый день.
Читаю книгу Aluffi Algebra: Chapter 0, возник вопрос по теории категорий. Он утверждает (Claim 5.5), что факторизация по отношению эквивалентности обладает универсальным свойством. Причём каноническая проекция $\pi$ является начальным объектом этой категории, а терминальный объект этой категории какой-то другой (какой?)
Его доказательство: у нас есть множество $A$ и отображение факторизации $\phi$ в множество $Z$, такое что $a_1 \sim a_2 \implies \phi(a_1) = \phi(a_2)$. Значит есть уникальный морфизм $\bar{\phi}: (\pi, A/\sim)\to(\phi,Z)$, который определяется так: $\bar{\phi}(\pi(a))=\phi(a)$ для элемента $a$.
Ну так я скажу что тогда каноническая проекция является одновременно и терминальным объектом, а мой уникальный морфизм $\bar{\phi}: (\phi,Z)\to(\pi, A/\sim)$ будет определён так: $\bar{\phi}(\phi(a))=\pi(a)$. Где у меня ошибка?

[Xaositect]

Возможно, что $a \not\sim b$, но $\phi(a) = \phi(b)$.

[DieselMachine]

Да, действительно. Спасибо. Эх, были бы писатели учебников более многословными, жизнь была бы куда проще