Повторный интеграл - замена переменной

[artempalkin]

Волею судеб мне нужно было взять интеграл

$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{2\cos\varphi}dr \ r\sqrt\frac {4+3r^2}{4-r^2}=6.975...$

(я сразу написал численное значение, которое выдает маткад)

Я сделал замену переменной $u=\frac {\sqrt{4-r^2}}2$ (по факту я эту замену делал в два шага, просто пишу упрощенно; именно такая замена сразу мне бы в голову здесь не пришла), и пришел к интегралу, который по логике должен быть равен исходному:

$4\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\sin\varphi}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}=21.478...$

Второй интеграл я взял также и явно (получилось $2\pi \left(1+\frac {4\pi}{3\sqrt 3}\right)$). Получается, ошибка где-то по ходу замены, но как я ни ломаю голову, не могу ее найти :( Подскажите, какая-то арифметическая? Или принципиальная?

[GAA]

artempalkin в сообщении #1520243 писал(а):

$4\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\sin\varphi}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}=21.478...$

$4\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{|\sin\varphi|}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}=8\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\sin\varphi}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}$

[artempalkin]

GAA в сообщении #1520255 писал(а):

$4\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{|\sin\varphi|}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}=8\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\sin\varphi}^{1}du \ \sqrt{4-3u^2}$

Да, все верно. А я еще думаю, почему исходная подынтегральная функция четна по $\varphi$, а получившаяся уже нет. Спасибо!