Закон Кулона в анизотропной среде

[reterty]

Решил я тут намедни вычислить силу Кулона в анизотропной среде (и как пример рассмотреть случай одноосного кристалла с двумя различными диэлектрическими проницаемостями). Ниже привожу кусок наброска статьи на английском языке.
Согласно решению задачи, приведенной в ЛЛ (Электродинамика сплошных сред), имеем для потенциала поля точечного заряда в анизотропном кристалле:

$$\varphi=\frac{q}{4 \pi\varepsilon_{0}\sqrt{\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz}}}\left[ \frac{x^2}{\varepsilon_{xx}}+\frac{y^2}{\varepsilon_{yy}}+\frac{z^2}{\varepsilon_{zz}}\right]^{-1/2}.$$

This equation is widely used in the quantum theory of solids, for example, when calculating the energy spectrum of impurity centres in anisotropic crystals. According to this equation the equipotential surfaces are ellipsoids. Taking into account this system and relation $\vec{E}=-\nabla \varphi$, we derive the components of the electric field strength:

$$\begin{cases} E_x=\frac{q x}{4 \pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{xx}\sqrt{\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz}}}\left[ \frac{x^2}{\varepsilon_{xx}}+\frac{y^2}{\varepsilon_{yy}}+\frac{z^2}{\varepsilon_{zz}}\right]^{-3/2} \\E_y=\frac{q y}{4 \pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{yy}\sqrt{\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz}}}\left[ \frac{x^2}{\varepsilon_{xx}}+\frac{y^2}{\varepsilon_{yy}}+\frac{z^2}{\varepsilon_{zz}}\right]^{-3/2}, \\E_z=\frac{q z}{4 \pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{zz}\sqrt{\varepsilon_{xx}\varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz}}}\left[ \frac{x^2}{\varepsilon_{xx}}+\frac{y^2}{\varepsilon_{yy}}+\frac{z^2}{\varepsilon_{zz}}\right]^{-3/2}\ \end{cases}$$

In what follows, for simplicity, we consider the case of uniaxial crystals ($\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_\perp$, $\varepsilon_z=\varepsilon_\parallel$) with the optical $z$-axis. Taking into account equations (6), we get the absolute value of the electric field strength due to a point charge in the anisotropic medium:

$$E=\sqrt{E^2_x+E^2_y+E^2_z}=\frac{E_0 \sqrt{k}}{\cos^2\theta}\frac{\left(k^2+\tg^2\theta \right)^{1/2} }{\left(k+\tg^2\theta \right)^{3/2} },$$

where $E_0=q/(4\pi \varepsilon_\perp \varepsilon_0 r^2)$; $k=\varepsilon_\perp/\varepsilon_\parallel$ is the anisotropy parameter; $\theta$ is the angle between vector $\vec{E}_0$ and $z$-axis (the azimuthal angle).
According to the last equation, the absolute value of the force that acts on a point charge in an anisotropic medium in the presence of another point charge, depends not only on distance $r$, but also on the azimuthal angle $\theta$ (that is, on the direction in space). In the case of $1/2<k<2$, $E(\theta)$ is a monotonic function of $\theta$ (the period of this function is always equal to $\pi/2$). If this condition is not met, this function has a maximum at $\theta=\arctg\left( \sqrt{k(2k-1)/(k-2)}\right) $

Вот картинка для модуля напряженности, полученная при (1) $k=\varepsilon_\perp/\varepsilon_\parallel=0.2$; (2) $k=\varepsilon_\perp/\varepsilon_\parallel=5$. Мне непонятна "физическая природа" найденного максимума.....или, может, я просто ошибся в расчетах?

[svv]

Нет, Вы не ошиблись.
На картинке изображены эквипотенциальные кривые (эллипсы) для потенциала точечного заряда в анизотропной среде. "Горизонтальная" координата $x$, "вертикальная" $z$ (всё в плоскости $y=0$). Эллипсы соответствуют уровням потенциала $\varphi=5,4,3,2,1$ (самый внутренний $\varphi=5$, два самых внешних не поместились на картинке целиком). Отношение $k=\varepsilon_{xx}/\varepsilon_{zz}=25$. Чёрная окружность помогает увидеть, какие точки равноудалены от заряда.

Разность потенциалов между соседними эллипсами равна $1$, и электрическое поле тем сильнее, чем эти эллипсы ближе друг к другу. Из картинки видно, что если сместиться от центра в горизонтальном направлении, там поле будет сильнее, чем если сместиться на то же расстояние в вертикальном направлении. Это самый грубый эффект. Но Вы заметили более тонкий: если сместиться в горизонтальном направлении и чуть-чуть в вертикальном, поле будет ещё сильнее! Это видно из того, что оранжевый отрезок заметно короче красного.

[reterty]

Уважаемый svv, спасибо Вам!