2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 МРТ. Некорректная демодуляция. Вывод формулы
Сообщение26.05.2021, 16:03 


14/01/09
86
Книга - Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. alii © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc.pdf

Цитата:

Problem 11.2
Show that $h(x - x_0) = F^{-1}(H(k)e^{-i 2 \pi kx_0})$. Explain how this result leads to a spatial shift in the reconstructed image when the signal is incorrectly demodulated, so that $s_{m}(t) \to s_{m}(t)e^{-i\Delta\omega t}$. To what demodulation frequency does this correspond?


С первой чатстью вроде все понятно.

Формально сигнал $s(t)$ появляется после преобразования фурье:

$$
s(t) = \int dz \rho (z) e^{i \phi_G(z, t)} = \int dz \rho (z) e^{- i 2\pi k z } 
$$

В МРТ обычно сразу измеряют сигнал s(t), правда перед этим проводтя процедуру демодуляции. Если демодуляцию провести некорректно, то появляется множитель в показателе экспоненты (9.6):

$$
s(t) = \int dz \rho (z) e^{i (-\Delta \omega t+\phi_G(z, t))} = \int dz \rho (z) e^{-i \Delta \omega t- i 2\pi k z } = e^{-i \Delta \omega t} \int dz \rho (z) e^{- i 2\pi k z },
$$

где $k = \gamma G t / {2 \pi}$.

Таким образом после преобразования Фурье получается функция $s(k)$.

Я так понимаю, чтобы найти $\rho (z)$ надо провести обратное преобразование фурье.

$$
\hat{\rho}(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z}
$$

Только под интегралом у меня будет уже
$$
\hat{\rho}'(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z} e^{i \Delta \omega t}
$$

Я рассуждаю так:

если имеется если есть разность частот $\Delta \omega = \gamma \Delta B / {2 \pi}$, тогда
$$\Delta \omega t = \gamma \Delta B t = \frac{2\pi k \Delta B}{G}$$


Тогда интеграл

$$
\hat{\rho}'(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z} e^{i \Delta \omega t} = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k (z - \frac{\Delta B}{G})} = \rho(z - \frac{\Delta B}{G})
$$

Выходит, что аргумент фнукции $\hat{\rho}$ будет смещен на некоторую величина $-\Delta B / \omega$, если бы демодуляция проводилась корректно. Верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group