МРТ. Некорректная демодуляция. Вывод формулы

[Anton_74]

Книга - Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. alii © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc.pdf

Цитата:

Problem 11.2
Show that $h(x - x_0) = F^{-1}(H(k)e^{-i 2 \pi kx_0})$. Explain how this result leads to a spatial shift in the reconstructed image when the signal is incorrectly demodulated, so that $s_{m}(t) \to s_{m}(t)e^{-i\Delta\omega t}$. To what demodulation frequency does this correspond?

С первой чатстью вроде все понятно.

Формально сигнал $s(t)$ появляется после преобразования фурье:

$$ s(t) = \int dz \rho (z) e^{i \phi_G(z, t)} = \int dz \rho (z) e^{- i 2\pi k z } $$

В МРТ обычно сразу измеряют сигнал s(t), правда перед этим проводтя процедуру демодуляции. Если демодуляцию провести некорректно, то появляется множитель в показателе экспоненты (9.6):

$$ s(t) = \int dz \rho (z) e^{i (-\Delta \omega t+\phi_G(z, t))} = \int dz \rho (z) e^{-i \Delta \omega t- i 2\pi k z } = e^{-i \Delta \omega t} \int dz \rho (z) e^{- i 2\pi k z }, $$

где $k = \gamma G t / {2 \pi}$.

Таким образом после преобразования Фурье получается функция $s(k)$.

Я так понимаю, чтобы найти $\rho (z)$ надо провести обратное преобразование фурье.

$$ \hat{\rho}(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z} $$

Только под интегралом у меня будет уже

$$ \hat{\rho}'(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z} e^{i \Delta \omega t} $$

Я рассуждаю так:

если имеется если есть разность частот $\Delta \omega = \gamma \Delta B / {2 \pi}$, тогда

$$\Delta \omega t = \gamma \Delta B t = \frac{2\pi k \Delta B}{G}$$

Тогда интеграл

$$ \hat{\rho}'(z) = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k z} e^{i \Delta \omega t} = \int dk s(k) e^{+i 2\pi k (z - \frac{\Delta B}{G})} = \rho(z - \frac{\Delta B}{G}) $$

Выходит, что аргумент фнукции $\hat{\rho}$ будет смещен на некоторую величина $-\Delta B / \omega$, если бы демодуляция проводилась корректно. Верно?