За столом сидят 7 пиратов

[melnikoff]

За столом сидят 7 пиратов. Перед каждым из них либо пустая кружка, либо кружка с ромом. По команде первый пират, если у него в кружке есть ром, разливает его поровну в остальные шесть кружек. Затем то же самое делает второй, третий и т.д. После того как седьмой пират разливает всем поровну ром из своей кружки, оказывается, что во всех кружках рома столько же, сколько было изначально. Есть ли ром в кружке третьего пирата?

Очевидно, что, если у всех пиратов изначально были пустые кружки, то и в конце они тоже будут пустые. Значит у 3-го пирата кружка пустая. Но это ещё не значит, что не существует других наборов кружек, также подходящих под условие.
Пусть хотя бы у одного пирата кружка непустая. Когда этот пират будет разливать свой ром остальным, то он также отольёт 7-у пирату, который на последнем шаге разольет всем с 1 по 6 пиратам. Следовательно, если хотя бы у одного пирата кружка непустая, то она также непустая у первых 6 пиратов и пустая у 7-го. Ещё видно, что изначальные объемы рома в кружках строго убывают от 1-го пирата к 6-у. На этом месте я застрял... Как доказать, что ни один набор непустых кружек не подходит под условие или наоборот, если такие наборы существуют, как это доказать ?

[mihaild]

Попробуйте написать уравнения и решить задачу для случая трех пиратов.

[TOTAL]

melnikoff в сообщении #1520120 писал(а):

Как доказать, что ни один набор непустых кружек не подходит под условие или наоборот, если такие наборы существуют, как это доказать ?

Придумать набор. А что если после разлива первым пиратом у второго становится столько, сколько было у первого, а у третьего столько, сколько было у второго. И т.д.

[melnikoff]

mihaild в сообщении #1520122 писал(а):

Попробуйте написать уравнения и решить задачу для случая трех пиратов.

$V_1 = \frac{1}{2}\left(V_2+\frac{V_1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{V_1}{2}+\frac{V_2}{2}+\frac{V_1}{4}\right)=\frac{3}{4}V_2+\frac{5}{8}V_1$,
$V_1=2V_2$.

[мат-ламер]

melnikoff
А вы условие точно переписали? Я ответить на вопрос задачи не смог. Условие допускает два решения. Как с ромом у третьего пирата, так и без рома у него.

[Sender]

Встретил такую формулировку: За столом сидят 7 гномов, перед каждым – кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?
http://ashap.info/Uroki/KirovLMSH/1999/Profi6-1999.pdf, стр 12.

[мат-ламер]

melnikoff в сообщении #1520120 писал(а):

После того как седьмой пират разливает всем поровну ром из своей кружки,

Может быть вот это предложение подразумевает, что ром на данный момент у седьмого пирата всё же был.

[melnikoff]

мат-ламер
задача копипастом перенесена отсюда 100 пар Yeezy.
Как я понял, есть два решения:
1) Все кружки изначально пустые, и тогда у третьего пирата кружка пустая.
2) Изначальные объемы кружек такие: $V, \frac{5}{6}V, \frac{4}{6}V, \frac{3}{6}V, \frac{2}{6}V, \frac{1}{6}V, 0$. Каждый пират будет разливать объем $V$ по другим 6 кружкам. Тогда у третьего пирата кружка будет непустая ($\frac{4}{6}V$).

Кстати, а можно как-то показать, что других решений нет?

[Sender]

melnikoff в сообщении #1520134 писал(а):

Кстати, а можно как-то показать, что других решений нет?

Можно найти ранг матрицы системы.

[svv]

Пусть $a_k$ — количество Martini Bianco, которое $k$-й пират налил каждому из остальных, когда пришла его очередь.
Сколько мартини $k$-й пират получил или потерял на $i$-м ходу?
Если $i\neq k$ (не его ход), он получил $a_i$ мартини.
Если $i=k$ (его ход), он потерял $6a_k$ мартини.
1) Исходя из того, что алгебраическая сумма всех приобретений пирата равна нулю, покажите, что все $a_k$ равны.
2) Дальше легко находится единственное (с точностью до общего коэффициента) решение.

[TOTAL]

melnikoff в сообщении #1520134 писал(а):

Кстати, а можно как-то показать, что других решений нет?

После первых двух ходов разница пива в первых двух кружках не изменилась. И так для всех соседних кружек. Поэтому опустошаемая кружка всегда полна, отдаваемые порции одинаковые.