Математическое ожидание

[KasMak]

Добрый день! Я пытаюсь решить казалось бы простую задачу найти математическое ожидание нормально распределённой случайной вылечены в к-ой степени. То есть M($\xi$^k), $\xi$ = N(0, $\sigma$). Очевидно, что как-то нужно вычислить:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^k \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} $$

Пытался найти какое-нибудь рекуррентное соотношение. Интегрировал это выражение по частям, но не к чему разумному прийти не удалось. Подскажите пожалуйста, как можно вычислить данное математическое ожидания. Заранее спасибо!

[alisa-lebovski]

Во-первых, искать надо только для четных $k$.
Во-вторых, про гамма-функцию слышали что-нибудь?

[мат-ламер]

А может и про характеристическую функцию слышали?

(Оффтоп)

Извините, что влез в обсуждение. Самому интересно подсчитать.

-- Пт май 21, 2021 22:53:32 --

KasMak в сообщении #1519445 писал(а):

Пытался найти какое-нибудь рекуррентное соотношение. Интегрировал это выражение по частям, но не к чему разумному прийти не удалось.

А вы начните с нулевой степени в сторону увеличения.

[KasMak]

До этого про эту функцию не слышал, сейчас прочитал, что она имеет следующий вид: $\Gamma(z) = \int\limits_{0}^{1} (-\ln x)^{z-1}dx$ и также для неё справедливо $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$. Но пока не совсем понимаю как это может помочь.

[alisa-lebovski]

KasMak в сообщении #1519460 писал(а):

сейчас прочитал, что она имеет следующий вид

Да посмотрите хоть в Википедии, первую формулу. Ваша сводится заменой переменной.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Ещё раз извините, что влез. Не сообразил на счёт замены переменной в гамма-функции. Конечно, это гораздо проще, чем по частям или через ХФ.