Сравнение с центральными бином коэффициентами

[Mirage_Pick]

Пусть $p$ - нечетное простое. Для $a \not\equiv 0 \pmod p$ введем обозначение $q_p(a) = (a^{p-1}-1)/p.$
Доказать, что

$$\sum_{k=0}^{(p-3)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)4^k} \equiv (-1)^{(p+1)/2}q_p(2) \pmod{p^2}\,.$$