Доказательство (плоская кривая, заданная параметрически)

[Kevsh]

Я не очень понимаю финал доказательства. Всё, что до него, думаю, здесь писать не нужно. Допустим, мы уже знаем, что $|u^2 + \alpha^2|-|u^2+\beta^2|\leq|\alpha-\beta|$. Нам нужно доказать, что $\lim\limits_{\lambda_R\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\sqrt{(\varphi'(\xi_i))^2+(\psi'(\tau_i))^2} -\sqrt{(\varphi'(\xi_i))^2+(\psi'(\xi_i))^2})\Delta t_i =0$. Мы уже знаем, что $\varphi'(t)$ – равномерно непрерывная функция. Вот тут наш лектор записал так: $\forall \varepsilon>0\exists\delta>0$ такая, что если $\lambda_R<\delta$, то $|\varphi'(\tau_i)-\varphi'(\xi_i)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$. И я совершенно не понимаю, откуда тут деление на $b-a$. Тут $\lambda_R=\max\Delta t_i$, где $R$ - наше разбиение. То есть по сути тут написано обыкновенное условие равномерной непрерывности, только вместо $\varepsilon$ написали $\frac{\varepsilon}{b-a}$. Просто мне кажется, что если мы делим $\varepsilon$ на что-то принадлежащее $(0, 1]$, то всё будет отлично, а вот если разница будет больше единицы - то выполнение условия не гарантируется, ведь $\varepsilon$ еще уменьшится, а наша $\delta$ зависит от $\varepsilon$, а не от $\frac{\varepsilon}{b-a}$. Ну понятно, что тут так и нужно сделать, потому что у доктора наук явно мозгов побольше, чем у меня, да и дальше всё по доказательству хорошо складывается, но всё же хотелось бы понять, почему так можно делать.

[svv]

Kevsh в сообщении #1519150 писал(а):

Допустим, мы уже знаем, что $|u^2 + \alpha^2|-|u^2+\beta^2|\leq|\alpha-\beta|$.

Разве это верно? Подставьте, например, $u=1, \alpha=2, \beta=1$.

Kevsh в сообщении #1519150 писал(а):

Нам нужно доказать, что $\lim\limits_{\lambda_R\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\sqrt{(\varphi'({\color{magenta}\xi_i}))^2+(\psi'({\color{magenta}\tau_i}))^2} -\sqrt{(\varphi'({\color{magenta}\xi_i}))^2+(\psi'({\color{magenta}\xi_i}))^2})\Delta t_i =0$.

Все выделенные буквы именно такие?

Kevsh в сообщении #1519150 писал(а):

то $|\varphi'(\tau_i)-\varphi'(\xi_i)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$.

В левой части точно всё правильно? Почему там нет $\psi$?

Что вообще доказывается? Поясните смысл обозначений.

[Kevsh]

svv
да, там $|\psi'(\tau_i)-\psi'(xi_i)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$. То, что вы выделили цветом точно верно. А вот неравенство тоже переписал с ошибкой, там, конечно, $|\sqrt{u^2+\alpha^2}-\sqrt{u^2+\beta^2}|\leq |\alpha-\beta|$. Вот доказательство вплоть до проблемного момента:

[svv]

-- Ср май 19, 2021 02:16:53 --

Kevsh в сообщении #1519150 писал(а):

То есть по сути тут написано обыкновенное условие равномерной непрерывности, только вместо $\varepsilon$ написали $\frac{\varepsilon}{b-a}$. Просто мне кажется, что если мы делим $\varepsilon$ на что-то принадлежащее $(0, 1]$, то всё будет отлично, а вот если разница будет больше единицы - то выполнение условия не гарантируется, ведь $\varepsilon$ еще уменьшится, а наша $\delta$ зависит от $\varepsilon$, а не от $\frac{\varepsilon}{b-a}$.

Нормально. Посмотрите на схему определения:
Функция непрерывна, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что из $Q(\delta)$ следует $R(\varepsilon)$.
Тут $Q(\delta),R(\varepsilon)$ некоторые утверждения.

Теперь проследите за трансформациями.
Сделаем замену $\varepsilon=\frac{\varepsilon_1}{b-a}$, где $a,b$ константы и $b>a$. Получим:
Функция непрерывна, если для любого $\varepsilon_1$, такого, что $\frac{\varepsilon_1}{b-a}>0$, существует такое $\delta>0$, что из $Q(\delta)$ следует $R(\frac{\varepsilon_1}{b-a})$.

Но если $\frac{\varepsilon_1}{b-a}>0$ и $b>a$, то и $\varepsilon_1>0$. Получаем:
Функция непрерывна, если для любого $\varepsilon_1>0$ существует такое $\delta>0$, что из $Q(\delta)$ следует $R(\frac{\varepsilon_1}{b-a})$.

Остаётся $\varepsilon_1$ переобозначить в $\varepsilon$.

[Kevsh]

svvБольшое спасибо!