Как называется последовательное взятие нескольких интегралов

[geodx]

Здравствуйте уважаемые участники, подскажите пожалуйста!
Как называется операция последовательного взятия интегралов? Если мне надо три раза подряд взять от функции производную, я так и пишу - три штриха над функцией или тройку над знаком дифференциала. А вот для интегрирования?

[alisa-lebovski]

Нет такого, к сожалению.

[arseniiv]

geodx
Просто например определите $(I^0 f)(x) = f(x)$, $(I^{n + 1} f)(x) = \int_0^x (I^n f)(t) \, dt$, потом скобки вокруг $I^n f$ можно опускать для удобства, если люди не будут путаться.

[Farest2]

А можно формулу Коши задействовать (чтоб не путаться):

$$ \underbrace{\int_0^x\ldots\int_0^x}_{n+1} f(x)\,(dx)^{n+1} =\frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^n f(t)\,dt. $$

[geodx]

Спасибо! Решил посчитать школьную задачку: найти по ускорению скорость (проинтегрировать), потом по скорости найти пройденный путь (второй раз проинтегрировать).
И вот встрял...

[arseniiv]

А, ну тут-то обычно неопределённые интегралы будут, а после всего константы интегрирования определяются из каких-то условий, данных вместе с зависимостью ускорения от времени (а иначе так мы с неопределёнными константами и останемся). Но как вам поможет обозначение для кратного интегрирования в этом случае?

[geodx]

Да в принципе никак. Константы беру по нулю.
Просто странно, математики всё любят обобщать и вводить новые обозначения, а тут на поверхности лежит.
Введите кто-нибудь последовательное интегрирование, напишите статью в журнал )))

[Sinoid]

geodx в сообщении #1518918 писал(а):

Просто странно, математики всё любят обобщать и вводить новые обозначения, а тут на поверхности лежит.
Введите кто-нибудь последовательное интегрирование, напишите статью в журнал )))

А вы слыхали про производные отрицательных порядков? Есть это все уже в матеше.

[arseniiv]

geodx в сообщении #1518918 писал(а):

Просто странно, математики всё любят обобщать и вводить новые обозначения, а тут на поверхности лежит.

Оно есть, просто обобщение, если я правильно помню, не единственное, ну и общеупотребительные обозначения есть лишь у малой доли понятий, которые математики используют. (Например потому что все не упомнишь и в любом случае приходится напоминать в учебниках и больших статьях, что как будет обозначаться.)

[geodx]

А что, производная в минус первой степени - это интеграл?
А в минус второй - два интеграла подряд?

[arseniiv]

На пальцах да, а вот если аккуратно определять, там надо будет делать оговорки. Неотрицательная степень определяется всегда, когда мы что-то можем умножать на себя или повторно применять к чему-то, а отрицательная это отдельный разговор.

[Aritaborian]

Так сложилось из опыта применения математики к так называемому реальному миру, что применение производной несколько раз по одной и той же переменной оказывается полезным. Вот и придумали использовать штрихи. С другой стороны, из того же самого опыта сложилось, что применение повторного интеграла оказалось более полезным по разным переменным, а это уже никак не обозначишь более кратко, чем $\int \int \int f(x, y, z) dx dy dz$. Так устроен мир, апеллировать можно лишь к Создателю.

[geodx]

Спасибо, мои скиллы потихоньку растут ))

А вот я слышал - есть дробная производная. Например функция в "производной" $2/3$ - это что значит? Два раза подряд продифференцировать, а потом три раза проинтегрировать?

[Dan B-Yallay]

geodx в сообщении #1518999 писал(а):

А вот я слышал - есть дробная производная. Например функция в "производной" $2/3$ - это что значит?

Википедия для поверхностного ознакомпления.
Если хочется более вглубь и подробностей, то там же приведён список литературы.

[gevaraweb]

geodx в сообщении #1518918 писал(а):

Просто странно, математики всё любят обобщать и вводить новые обозначения, а тут на поверхности лежит.

Да есть оно, как без них. $D_x^{-1}$ или просто $D^{-1}$. Дифурщики подтвердят :)