Проверьте интеграл

[Бодигрим]

Вычислить

$$I=\iiint_V {dx\, dy\, dz\over\left( 1+{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}\right)^4},$$

$$V\colon {{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}=1,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=0}.$$

У меня получилось, что
\begin{eqnarray*} I &=& \int_0^3 dx \int_0^{4(1-x/3)}dy \int_0^{8(1-x/3-y/4)} \left( 1+{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}\right)^{-4}\, dz \\ &=& \int_0^3 dx \int_0^{4(1-x/3)} {1\over-3} \left( 2^{-3} - \left( 1+{x\over3}+{y\over4}\right)^{-3} \right) dy \\ &=& -{1\over24} \int_0^3 4(1-x/3)\, dx + {1\over3} \int_0^3 {1\over-2} \left( 2^{-2} - \left( 1+{x\over3}\right)^{-2} \right)\, dx \\ &=& -{1\over2} + {1\over4} - {1\over8} - {1\over6} \left( 1+x/3 \right)^{-1} \Bigm|_0^3 \\ &=& -{7\over 24}. \end{eqnarray*}

Не сходится с ответом - там значится 2.

[GAA]

Уже при вычислении интеграла по z потеряна 8.
У меня ответ равен 2.
[Добавлено]
Чтобы в подобных задачах не мучатся с параметрами или константами, удобно сделать линейную замену. В данном случае $x \gets x/3$, $y \gets y/4$, $z \gets z/8$ (якобиан $3\cdot4\cdot 8$), тогда

$$I=3\cdot 4\cdot 8 \iiint_V {dx\, dy\, dz\over\left( 1+x+y}+{z}\right)^4}$$

,

$$V\colon {{x}+{y}+{z}=1,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=0}$$

.

[TOTAL]

Сделайте замену переменных и сведите к задаче: найти

$$\int_0^1 {\frac{kt^2dt}{(1+t)^4}$$

, если

$$\int_0^1 {{kt^2}dt}=\frac{3\cdot4\cdot8}{6}$$