2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверьте интеграл
Сообщение05.06.2008, 12:45 
Аватара пользователя
Вычислить
$$I=\iiint_V {dx\, dy\, dz\over\left( 1+{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}\right)^4},$$
$$V\colon {{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}=1,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=0}.$$

У меня получилось, что
\begin{eqnarray*}
I &=& \int_0^3 dx \int_0^{4(1-x/3)}dy \int_0^{8(1-x/3-y/4)} \left( 1+{x\over3}+{y\over4}+{z\over8}\right)^{-4}\, dz \\
&=& \int_0^3 dx \int_0^{4(1-x/3)} {1\over-3} \left( 2^{-3} - \left( 1+{x\over3}+{y\over4}\right)^{-3} \right) dy \\
&=& -{1\over24} \int_0^3 4(1-x/3)\, dx
+ {1\over3} \int_0^3 {1\over-2} \left( 2^{-2} - \left( 1+{x\over3}\right)^{-2} \right)\, dx \\
&=& -{1\over2} + {1\over4} - {1\over8} - {1\over6} \left( 1+x/3 \right)^{-1} \Bigm|_0^3 \\
&=& -{7\over 24}.
\end{eqnarray*}

Не сходится с ответом - там значится 2.

 
 
 
 Мои вычисления не совпадают с Вашими
Сообщение05.06.2008, 13:35 
Уже при вычислении интеграла по z потеряна 8.
У меня ответ равен 2.
[Добавлено]
Чтобы в подобных задачах не мучатся с параметрами или константами, удобно сделать линейную замену. В данном случае $x \gets  x/3$, $y \gets y/4$, $z \gets z/8$ (якобиан $3\cdot4\cdot 8$), тогда
$$I=3\cdot 4\cdot 8 \iiint_V {dx\, dy\, dz\over\left( 1+x+y}+{z}\right)^4}$$,
$$V\colon {{x}+{y}+{z}=1,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=0}$$.

 
 
 
 Re: Проверьте интеграл
Сообщение05.06.2008, 14:05 
Аватара пользователя
Сделайте замену переменных и сведите к задаче: найти $$\int_0^1 {\frac{kt^2dt}{(1+t)^4}$$, если $$\int_0^1 {{kt^2}dt}=\frac{3\cdot4\cdot8}{6}$$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group