Как Максвелл получил инвариантную скорость света?

[sergey zhukov]

Из уравнений Максвелла следует, что скорость электромагнитных волн равна $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$. Чтобы измерить $\varepsilon_0$, нужно измерить силу, действующую между двумя зарядами в вакууме. А чтобы измерить $\mu_0$, нужно измерить силу между двумя проводами с током в вакууме.

Максвелл был сторонником теории эфира, поэтому у него наверняка должен был появиться вопрос: как влияет эфирный ветер на измерение $\mu_0$ и $\varepsilon_0$? Наверняка мы должны измерять эти величины в отсутствии эфирного ветра, иначе результат может быть искажен.

Но похоже, этот вопрос Максвелла не беспокоил? Он просто считал, что установка для измерения $\varepsilon_0$ и $\mu_0$ всегда покоится в эфире, а скорость света определяется именно относительно этой установки. Вряд ли он полагал, что в любой инерциальной системе эта установка даст один и тот же результат и что скорость света, соответственно, инвариантна в любой инерциальной системе? Он просто описал электромагнитные явления с точки зрения наблюдателя, неподвижного в эфире. Но наверняка он считал, что движущийся в эфире наблюдатель - это нечто совсем другое.

Т.е. хотя Максвелл и получил уравнения, инвариантные к преобразованиям Лоренца, он все же был далек от мысли о том, что в любой инерциальной системе все электромагнитные явления происходят одинаково?

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1518436 писал(а):

Т.е. хотя Максвелл и получил уравнения, инвариантные к преобразованиям Лоренца, он все же был далек от мысли о том, что в любой инерциальной системе все электромагнитные явления происходят одинаково?

Насколько я помню, преобразования Лоренца придумали через несколько десятилетий после уравнений Максвелла. Преобразования Галилея не сохраняют форму уравнений Максвелла, наверное. Значит, Максвелл выводил свои уравнения именно относительно неподвижного эфира, возможно, предполагая, что эфир может увлекаться Землёй, и скорость Земли относительно внешнего эфира всё равно мала по сравнению со скоростью света. В общем, он не стал заморачиваться сложностями раньше времени.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1518436 писал(а):

Он просто считал, что установка для измерения $\varepsilon_0$ и $\mu_0$ всегда покоится в эфире, а скорость света определяется именно относительно этой установки.

Можно ещё заметить (скорее всего лишь анахронично), что нам не надо остающихся теми же $\varepsilon_0$ и $\mu_0$, нам надо сохранять их произведение, так что можно было бы в принципе предположить, что их произведение будет всё равно оставаться одинаковым, потому что например «у эфира нет столько свободы».

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1518441 писал(а):

потому что например «у эфира нет столько свободы».

Всё же классическая механика требовала бы неизотропии скорости света для наблюдателя, движущегося относительног эфира.

[arseniiv]

Ну мимо группы Лоренца конечно не пролезешь в конце концов, это понятно.

[Padawan]

realeugene в сообщении #1518440 писал(а):

Преобразования Галилея не сохраняют форму уравнений Максвелла, наверное.

Вот только понять бы ещё, как преобразуются вектора $\bf{ E}$ и $\bf{H}$ при преобразованиях Галилея. Иначе не понятно, что значит, что уравнения неинвариантны. Я задавал этот вопрос на форуме сколько-то лет назад и участник Red-Hering сказал, что из уравнений Максвелла следует, что как их не преобразуй, инвариантности не будет. Как бы это увидеть?

[пианист]

Дык прямо, взять $t\frac{\partial}{\partial x} + $ <еще что-нибудь>, и подействовать на уМ.
Собс-но, Фойгт примерно это и сделал (точнее, он изучал волновое уравнение, т.к. занимался акустикой), и пришел к выводу (ну, на тогдашнем уровне техники вычислений, конечно), что нужно, чтобы было $t\frac{\partial}{\partial x} + x\frac{\partial}{\partial t} + ..$

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1518436 писал(а):

Из уравнений Максвелла следует, что скорость электромагнитных волн равна $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$. Чтобы измерить $\varepsilon_0$, нужно измерить силу, действующую между двумя зарядами в вакууме. А чтобы измерить $\mu_0$, нужно измерить силу между двумя проводами с током в вакууме.

Да-а. Еще одна жертва принудительного насаждения системы СИ где надо, и где не надо (sergey zhukov, не обижайтесь, это не к Вам претензия).

Всякие $\varepsilon_0$ к природе вещей никакого отношения не имеют и измерить их нельзя, так как они являются артефактом дурацкого выбора основных единиц в системе СИ. Если единицы выбрать по-человечески, скажем, так, что бы в законе Кулона коэффициент был единицей (выбор единицы заряда $q$), то, к примеру, в силе Лоренца возникнет коэффициент $K$, который надо определить экспериментально: $\mathbf{F}=\frac{q}{K}[\mathbf{v}\times\mathbf{B}]$. Этот коэффициент неожиданно совпадет со скоростью света.

Padawan в сообщении #1518455 писал(а):

Вот только понять бы ещё, как преобразуются вектора $\bf{ E}$ и $\bf{H}$ при преобразованиях Галилея.

Для того, что бы понять, что уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея, достаточно написать их в потенциалах (это сделал еще сам Максвелл), и увидеть, что в таком виде они переходят в волновые уравнения, для которых галилеева инвариантность отсутствует. Максвелла это не смущало, поскольку такие же уравнения давно писались для всяких волн в средах, где есть выделенная система отсчета - система покоя среды, в которой распространяется волна.

[physicsworks]

amon меня опередил, но я все же прокомментирую одну вещь из этого потока сообщений.

Padawan в сообщении #1518455 писал(а):

Вот только понять бы ещё, как преобразуются вектора $\bf{ E}$ и $\bf{H}$ при преобразованиях Галилея.

нужно аккуратно взять предел $v/c \to 0$ в соответствующих преобразованиях Лоренца для полей. При этом вообще-то возникает два галилеевых передела: магнитный и электрический, в зависимости от того $c B \gg E$ или $E \gg c B$ (здесь я говорю о полях в вакууме для простоты). Аккуратность здесь важна потому, что если просто положить, например, $\gamma \to 1$ в преобразованиях Лоренца для полей, то получится билиберда, которая даже закону композиции не удовлетворяет.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1518436 писал(а):

Из уравнений Максвелла следует, что скорость электромагнитных волн равна $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$. Чтобы измерить $\varepsilon_0$, нужно измерить силу, действующую между двумя зарядами в вакууме. А чтобы измерить $\mu_0$, нужно измерить силу между двумя проводами с током в вакууме.

Господи, как же мне в моей СГС измерить 1?
(я тоже совершенно не хочу обидеть хорошего участника)

[sergey zhukov]

amon
Хорошо, с выбором единицы заряда связано, что именно мы должны измерить в эксперименте. Произведение $\mu_0 \varepsilon_0$ от выбора единицы заряда не зависит, поэтому фактически на эксперименте нужно определить не две величины, а одну. Например, константу в силе Лоренца $K$, как Вы предлагаете.

Но ведь все равно ее нужно измерить. И должен возникнуть вопрос о том, в каких условиях она измеряется: в неподвижном или в движущемся эфире? Я помню, что еше в школе нам говорили "согласно уравнениям Максвелла скорость света равна 300 000 км/сек безотносительно к чему-бы то ни было". Это утверждение похоже сделано уже задним числом с позиций СТО, а сам Максвелл ответил бы, наверное "скорость света измеряется относительно установки, которая измеряет $K$"

Рассматривал ли он вопрос о том, какой $K$ получится у разных инерциальных наблюдателей? Вероятно, нет. Иначе уже тогда можно было бы сказать, что скорость света инвариантна и нет смысла выполнять эксперимент Майкельсона.

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1518498 писал(а):

Но ведь все равно ее нужно измерить. И должен возникнуть вопрос о том, в каких условиях она измеряется: в неподвижном или в движущемся эфире?

При той точности, которая тогда была доступна - 10%, это был бессмысленный вопрос.

[Padawan]

пианист в сообщении #1518460 писал(а):

Дык прямо, взять $t\frac{\partial}{\partial x} + $ <еще что-нибудь>, и подействовать на уМ.

+ <ещё что-нибудь> это $+g_1\frac{\partial}{\partial E_x}+g_2\frac{\partial}{\partial E_y}+g_3\frac{\partial}{\partial E_z}+h_1\frac{\partial}{\partial H_x}+h_2\frac{\partial}{\partial H_y}+h_3\frac{\partial}{\partial H_z}$? От каких аргументов зависят функции $g_i, h_i$ ? Из физических соображений зависят только от $\mathbf{E, H}$ (однородность пространства, однородность времени), то есть формулы преобразования $\mathbf E'=\mathbf E'(\mathbf {E, H},v), \mathbf H'=\mathbf H'(\mathbf {E, H},v)$. Возможно, что и без этого предположения неинвариантость показывается.

[пианист]

Ну да. Если ограничиваться преобразованиями в координатах $(x,y,z,t,E_x,E_y,E_z,H_x,H_y,H_z)$, то от них же; соответственно, рисуем коэффициенты при производных от $E_x,..,H_z$ и действуем получившимся оператором на уМ (только не забудьте при расщеплении учесть сами уравнения). Если выкинуть $x,y,z,t$, считать, ест-но, будет проще.
Но можно включить зависимость от производных в $g_1,..,h_3$, все равно ничего не получается (в студенческие годы этим развлекался ;).

[Pphantom]

amon в сообщении #1518500 писал(а):

При той точности, которая тогда была доступна - 10%, это был бессмысленный вопрос.

На самом деле получше - по наблюдениям звездной аберрации это проверялось с точностью на порядок-полтора выше. Но итоговый вывод от этого, конечно, не меняется.