Maximum value 1

[rsoldo]

Let $x,y,z$ positive real numbers such that $x+y+z=3$. Determine the maximum value of
$\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}.$

[wrest]

(ответ)

$(x;y;z)=(1,5;1;0,5); max(f)=8$

[Sergic Primazon]

$\sqrt {2x+13}=4\sqrt {1+\dfrac {1}{8}\left ( x-\dfrac {3}{2} \right)}\le 4\left (1+ \dfrac {1}{16}\left (x-\dfrac {3}{2}\right)\right)=\dfrac {29}{8}+\dfrac {x}{4}$

$\sqrt [3]{3y+5}=2\sqrt [3]{1+\dfrac {3}{8}\left ( y-1 \right)}\le 2\left (1+ \dfrac {1}{8}\left (y-1\right)\right)=\dfrac {7}{4}+\dfrac {y}{4}$

$\sqrt [4]{8z+12}=2\sqrt [4]{1+\dfrac {1}{2}\left ( z-\dfrac {1}{2} \right)}\le 2\left (1+ \dfrac {1}{8}\left (z-\dfrac {1}{2}\right)\right)=\dfrac {15}{8}+\dfrac {z}{4}$

$$ ... \le \dfrac {58}{8}+\dfrac {x+y+z}{4}=8$$

[arqady]

rsoldo в сообщении #1518433 писал(а):

Let $x,y,z$ positive real numbers such that $x+y+z=3$. Determine the maximum value of
$\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}.$

AM-GM даёт:

$$\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}=\frac{1}{4}\sqrt{16(2x+13)}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{8^2(3y+5)}+\frac{1}{2}\sqrt[4]{4^3(2z+3)}\leq$$

$$\leq\frac{16+2x+13}{4\cdot2}+\frac{2\cdot8+3y+5}{4\cdot3}+\frac{3\cdot4+2z+3}{2\cdot4}=8.$$

Равенство достигается, когда $(x,y,z)=\left(\frac{3}{2},1,\frac{1}{2}\right),$ что означает, что мы получили максимальное значение.