2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение09.05.2021, 17:22 


17/02/21
7
Здравствуйте. Читаю сейчас "Введение в алгебру" Кострикина. Наткнулся на следующее упражнение:

Пусть $f:X \to Y$ - отображение и $b = f(a)$ для некоторого $a\inX$.
Прообраз $f^{-1}(b)=f^{-1}(f(a))=\left\lbrace x\mid f(x)=f(a)\right\rbrace$ иногда называют ещё слоем над элементом $b \in Imf$. Показать, что всё множествоX является объединением непересекающихся слоев.
Предупреждение. Обозначение $f^{-1}(b)$ не следует ассоциировать с обратным отображением, которого может и не быть.

Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы. Начал с инъективных:
1.) Пусть $f:X \to Y$ - инъективно, но не сюръективно. Возьмём $y_1, y_2 \in Y :f(x_1) =y_1 & f(x_2) = y_2$.В силу инъективности слои будут состоять из одного элемента и неравенство $f^{-1}(y_1) \ne f^{-1}(y_2)$ можно понимать как$f^{-1}(y_1) \cap f^{-1}(y_2) = \varnothing$. По определению инъективности при $y_1 \ne y_2\Rightarrow f^{-1}(y_1) \ne f^{-1}(y_2)$. Тогда можно сказать что $X = \bigcup\limits_{y \in Imf}f^{-1}(y)$(подразумевая здесь и далее, что это дизъюнктное объединение)
2.) Для биекции из рассуждений выше очевидно $X = \bigcup\limits_{y \in Y}f^{-1}(y)$
Если же отображение неинъективное, то начинаются проблемы. Можно, конечно, взять отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которое ставит $x \in \mathbb{R}$ в соответствие $x^2$ и доказать для него, но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$, то не о каком дизъюнктом объединение слоёв не идёт и речи.
Это неточность в задаче или я чего-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение09.05.2021, 17:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):
но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$
Так это ведь уже не отображение, это не функциональное отношение.

Можно рассматривать просто произвольное отображение сразу, там не будет сложно. Инъекции и сюръекции на этом фоне выделяются, но только в ограничениях на мощность слоёв; в одном случае сверху и в другом случае снизу, и для биекций получается неудивительный результат, когда оба ограничения оставляют лишь 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение09.05.2021, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):
Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы.
Вы явно пошли куда-то не туда. Что Вы понимаете под "всеми типами", я не понимаю. Забудьте про них полностью. Требуемое равенство доказывается "в одну строчку" совершенно одинаково для всех мыслимых и немыслимых "типов", достаточно определения отображения и понимания того, что нужно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение09.05.2021, 18:13 


17/02/21
7
arseniiv в сообщении #1517794 писал(а):
sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):
но если взять отображение $g = X\times X$, где $X = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace$
Так это ведь уже не отображение, это не функциональное отношение.

Можно рассматривать просто произвольное отображение сразу, там не будет сложно. Инъекции и сюръекции на этом фоне выделяются, но только в ограничениях на мощность слоёв; в одном случае сверху и в другом случае снизу, и для биекций получается неудивительный результат, когда оба ограничения оставляют лишь 1.


В некоторых учебниках, например в Матане Зорича, сначала даётся определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения, и лишь потом уточняется, что функция - это функциональное отношение, т.е. одному x соответствует один y. Сейчас понял, что держал в голове именно это определение, хотя у Кострикина сразу говорится о том что отображение = функциональное отображение :-)

-- 09.05.2021, 18:15 --

Someone в сообщении #1517796 писал(а):
sirin0880 в сообщении #1517788 писал(а):
Т.к. не было указано какое именно отображение рассматривается в задаче я начал перебирать все типы.
Вы явно пошли куда-то не туда. Что Вы понимаете под "всеми типами", я не понимаю. Забудьте про них полностью. Требуемое равенство доказывается "в одну строчку" совершенно одинаково для всех мыслимых и немыслимых "типов", достаточно определения отображения и понимания того, что нужно доказать.


Да, действительно так. Возможно, меня запутало определение, которое запомнилось из другого учебника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение09.05.2021, 18:54 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
sirin0880 в сообщении #1517803 писал(а):
определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения
Это отношение, а не отображение. Но вы, наверное, просто опечатались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение10.05.2021, 15:21 


17/02/21
7
Aritaborian в сообщении #1517808 писал(а):
sirin0880 в сообщении #1517803 писал(а):
определение отображения как произвольного подмножества некоего Декартового произведения
Это отношение, а не отображение. Но вы, наверное, просто опечатались.


Да,верно,там оговорка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение, задающее разбиение множества
Сообщение10.05.2021, 16:05 


05/07/18
122
Вы представте, что элеметны подмножетсва $A_1\subset X$ отображаются в элемента $b_1\in Y$, потом $A_2\subset X$ отображаются в элемента $b_2\in Y$. Теперь допустим $a\in A_1\cap A_2$ т.е. одновременно пренадлежит и $A_1\subset X$ и $A_2\subset X$. В какой элемент отображается элемента $a$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group