2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 13:32 


20/01/19
22
У меня есть система ДУ с конечными условиями, которая завязана на другой системе ДУ с начальными условиями. Обе нелинейные и нетипичные. Все мои попытки и решения были отбракованы как неверные. Я в полнейшем замешательстве + до этого мой опыт решения едва ли превышал задачники Филиппова. Можно, пожалуйста помощи?
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x'= -a_1xy\\
 y'= a_1xy-a_2y\\
\end{array}
\right.$

$x(0)=9999, y(0)=777$

На основе этой системы строится вот такая, похожая:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \alpha'= a_1x\alpha-a_1y\beta\\
 \beta'= a_1x\alpha-(a_1x+a_2)\beta+2(y-\hat{y})\\
\end{array}
\right.$

$\alpha(T)=0, \beta(T)=0$

$\hat{y}$ - статистические данные, $a_1,a_2 = const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А не поможет разделить первое на x, второе на y и заменить $u=\ln x$, $v=\ln y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 17:55 


20/01/19
22
Евгений Машеров в сообщении #1517522 писал(а):
А не поможет разделить первое на x, второе на y и заменить $u=\ln x$, $v=\ln y$?


Т.е., так:
$ ln|x|=-\frac{a_1}{2}y^2$
$ln|y|=(\frac{a_1}{2}-a_2)x
$


$ u=ln|y|$
$x=\frac{1}{du}$
$v=ln|x|$
$y=\frac{1}{dv}$

$ \frac{u}{du}=-\frac{a_1}{2}$
$ \frac{v}{dv}=(\frac{a_1}{2}-a_2) $

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 18:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
idcradle в сообщении #1517535 писал(а):
Т.е., так:
$ ln|x|=-\frac{a_1}{2}y^2$
$ln|y|=(\frac{a_1}{2}-a_2)x
$


$ u=ln|y|$
$x=\frac{1}{du}$
$v=ln|x|$
$y=\frac{1}{dv}$

$ \frac{u}{du}=-\frac{a_1}{2}$
$ \frac{v}{dv}=(\frac{a_1}{2}-a_2) $

?

Чё???
idcradle в сообщении #1517483 писал(а):
мой опыт решения едва ли превышал задачники Филиппова.


Видимо, очень сильно не превышал. Неудивидельно, что предыд попытки - если они были на том же уровне - не встретили понимания (а встретили, я полагаю, ....)

Но - про систему-1: поедлив второе урвнение на первое, что-то сразу найдете (зависимость икса от игрека). Подставляя это в первое, получите простегький дифур. Однако, интеграл соответствуюший не считается (не элементарная). Так что дело - швах.
А вторая система вааще не интегрируется (хотя и является линейной неоднородной): матрицы ее попарно не коммутируют. Так что дело - совсем швах...

-- 08.05.2021, 20:32 --

idcradle
Система-1 - это что, SIR-модель? А вторая система - попытка за счет возмущений подогнать под реальные данные?
Вторая - похожа на уравнение в вариациях - но не совпадает с ней: в первом ур-ии что-то со знаками, да и коэф-ты при альфе-бете перепутались.
.. Так что проверьте вывод этой (второй) системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 19:11 


20/01/19
22
Цитата:
Система-1 - это что, SIR-модель? А вторая система - попытка за счет возмущений подогнать под реальные данные?
Вторая - похожа на уравнение в вариациях - но не совпадает с ней: в первом ур-ии что-то со знаками, да и коэф-ты при альфе-бете перепутались.
.. Так что проверьте вывод этой (второй) системы.



Скорее SI-модель. Но да, она, да, попытка подгона.
*
Да, вы правы. Вот такой вид системы:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \alpha'= a_1y\alpha-a_1y\beta\\
 \beta'= a_1x\alpha-(a_1x+a_2)\beta+2(y-\hat{y})\\
\end{array}
\right.$
*
Она точно должна решаться и должна решиться численными.
В помощь моему решению, мне сказали решать ее как систему 4х ду. И что если я решу первую, то потом легко решу 2ю.
*
Да, сильно не превышал, тут не поспоришь.
По поводу системы 1:
Т.е., как:
$\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}=\frac{-a_1xy}{a_1xy-a_2y}$
И должно получиться:
$x'-a_1x^2+a_2xln(x)=0$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение08.05.2021, 22:02 


20/01/19
22
Еще одна из вариаций на пути решения 1й системы была такой:
$(1-a_1)y''+a_1a_2\frac{y'}{y}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение09.05.2021, 10:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
idcradle в сообщении #1517551 писал(а):
Т.е., как:

Нет.
Надо так:
DeBill в сообщении #1517537 писал(а):
поедлив второе урвнение на первое,

И сократите дробь на игрек...
Уравнение в вариациях - все еще не то..

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение09.05.2021, 14:06 


20/01/19
22
Цитата:
Нет.
Надо так


Т.е. должно получиться:
$y=\frac{a_2}{a_1}\ln|x|-x$?


Цитата:
Уравнение в вариациях - все еще не то..


Понимаю, но именно такой вид дан преподавателем. Сегодня буду уточнять по поводу вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.
Сообщение10.05.2021, 02:11 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
idcradle в сообщении #1517744 писал(а):
Т.е. должно получиться:
$y=\frac{a_2}{a_1}\ln|x|-x$?

Да. И "плюс константа". Теперь надо подставить в первое уравнение - переменные разделятся...Но дальше будут проблемы -с интегралом; я уж не говорю за вторую систему...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group