Система нелинейных дифференциальных уравнений с гран. усл.

[idcradle]

У меня есть система ДУ с конечными условиями, которая завязана на другой системе ДУ с начальными условиями. Обе нелинейные и нетипичные. Все мои попытки и решения были отбракованы как неверные. Я в полнейшем замешательстве + до этого мой опыт решения едва ли превышал задачники Филиппова. Можно, пожалуйста помощи?
$\left\{ \begin{array}{rcl} x'= -a_1xy\\ y'= a_1xy-a_2y\\ \end{array} \right.$

$x(0)=9999, y(0)=777$

На основе этой системы строится вот такая, похожая:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha'= a_1x\alpha-a_1y\beta\\ \beta'= a_1x\alpha-(a_1x+a_2)\beta+2(y-\hat{y})\\ \end{array} \right.$

$\alpha(T)=0, \beta(T)=0$

$\hat{y}$ - статистические данные, $a_1,a_2 = const$

[Евгений Машеров]

А не поможет разделить первое на x, второе на y и заменить $u=\ln x$, $v=\ln y$?

[idcradle]

Евгений Машеров в сообщении #1517522 писал(а):

А не поможет разделить первое на x, второе на y и заменить $u=\ln x$, $v=\ln y$?

Т.е., так:
$ ln|x|=-\frac{a_1}{2}y^2$
$ln|y|=(\frac{a_1}{2}-a_2)x $


$ u=ln|y|$
$x=\frac{1}{du}$
$v=ln|x|$
$y=\frac{1}{dv}$

$ \frac{u}{du}=-\frac{a_1}{2}$
$ \frac{v}{dv}=(\frac{a_1}{2}-a_2) $

?

[DeBill]

idcradle в сообщении #1517535 писал(а):

Т.е., так:
$ ln|x|=-\frac{a_1}{2}y^2$
$ln|y|=(\frac{a_1}{2}-a_2)x
$


$ u=ln|y|$
$x=\frac{1}{du}$
$v=ln|x|$
$y=\frac{1}{dv}$

$ \frac{u}{du}=-\frac{a_1}{2}$
$ \frac{v}{dv}=(\frac{a_1}{2}-a_2) $

?

Чё???

idcradle в сообщении #1517483 писал(а):

мой опыт решения едва ли превышал задачники Филиппова.

Видимо, очень сильно не превышал. Неудивидельно, что предыд попытки - если они были на том же уровне - не встретили понимания (а встретили, я полагаю, ....)

Но - про систему-1: поедлив второе урвнение на первое, что-то сразу найдете (зависимость икса от игрека). Подставляя это в первое, получите простегький дифур. Однако, интеграл соответствуюший не считается (не элементарная). Так что дело - швах.
А вторая система вааще не интегрируется (хотя и является линейной неоднородной): матрицы ее попарно не коммутируют. Так что дело - совсем швах...

-- 08.05.2021, 20:32 --

idcradle
Система-1 - это что, SIR-модель? А вторая система - попытка за счет возмущений подогнать под реальные данные?
Вторая - похожа на уравнение в вариациях - но не совпадает с ней: в первом ур-ии что-то со знаками, да и коэф-ты при альфе-бете перепутались.
.. Так что проверьте вывод этой (второй) системы.

[idcradle]

Цитата:

Система-1 - это что, SIR-модель? А вторая система - попытка за счет возмущений подогнать под реальные данные?
Вторая - похожа на уравнение в вариациях - но не совпадает с ней: в первом ур-ии что-то со знаками, да и коэф-ты при альфе-бете перепутались.
.. Так что проверьте вывод этой (второй) системы.

Скорее SI-модель. Но да, она, да, попытка подгона.
*
Да, вы правы. Вот такой вид системы:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha'= a_1y\alpha-a_1y\beta\\ \beta'= a_1x\alpha-(a_1x+a_2)\beta+2(y-\hat{y})\\ \end{array} \right.$
*
Она точно должна решаться и должна решиться численными.
В помощь моему решению, мне сказали решать ее как систему 4х ду. И что если я решу первую, то потом легко решу 2ю.
*
Да, сильно не превышал, тут не поспоришь.
По поводу системы 1:
Т.е., как:
$\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}=\frac{-a_1xy}{a_1xy-a_2y}$
И должно получиться:
$x'-a_1x^2+a_2xln(x)=0$
?

[idcradle]

Еще одна из вариаций на пути решения 1й системы была такой:
$(1-a_1)y''+a_1a_2\frac{y'}{y}=0$

[DeBill]

idcradle в сообщении #1517551 писал(а):

Т.е., как:

Нет.
Надо так:

DeBill в сообщении #1517537 писал(а):

поедлив второе урвнение на первое,

И сократите дробь на игрек...
Уравнение в вариациях - все еще не то..

[idcradle]

Цитата:

Нет.
Надо так

Т.е. должно получиться:
$y=\frac{a_2}{a_1}\ln|x|-x$?

Цитата:

Уравнение в вариациях - все еще не то..

Понимаю, но именно такой вид дан преподавателем. Сегодня буду уточнять по поводу вида.

[DeBill]

idcradle в сообщении #1517744 писал(а):

Т.е. должно получиться:
$y=\frac{a_2}{a_1}\ln|x|-x$?

Да. И "плюс константа". Теперь надо подставить в первое уравнение - переменные разделятся...Но дальше будут проблемы -с интегралом; я уж не говорю за вторую систему...