Несобственный интеграл, доказательство теоремы

[Kevsh]

Вот так звучит теорема: пусть задан $\int_{a}^{b}f(x)dx$ с единственной особенностью в точке $b$. Для его существования необходимо и достаточно выполнение условия Коши: для всякого $\varepsilon > 0$ существует $b_0 < b$ такое, что $|\int_{b'}^{b''}f(t)dt| < \varepsilon_1$ каковы бы ни были $b', b''$, удовлетворяющие неравенствам $b_0 < b' < b'' < b$. Я не очень понимаю часть, где используется условие Коши, именно геометрический смысл.

Правильно ли я понимаю, что если интеграл расходится, как на этом рисунке, то мы можем взять $b'$ и $b''$, для которых посчитать интеграл не получится, потому что на $b''$ функция вообще не определена и площадь под графиком считать нельзя, следовательно для этого требуется, чтобы при любых $b', b''$ посчитать интеграл можно было, так как нужно сделать его меньше $\varepsilon$.

[StaticZero]

Kevsh в сообщении #1516762 писал(а):

что если интеграл расходится, как на этом рисунке

Если это понимать буквально, то расходится он у вас непонятно где, а не в $b$.

Корректный рисунок был бы например тогда, когда единственная вертикальная асимптота находится в $b$. Условие Коши говорит: интеграл хороший, если при задании любого $\varepsilon$ никак не получается $| \int_I f | > \varepsilon$, если отрезком $I$ не вылезти за границы отрезка $(b_0(\varepsilon), b)$, зависящего только от $\varepsilon$.

Иначе говоря: возьмём $| \int_{b'}^{b''} f|$, прибъём $b'$ гвоздями. Раз у нас $f \to +\infty$ (например) при $x \to b-$, то приближением $b'' \to b$ нарастить указанный модуль можно, но не сколь угодно сильно, а до какого-то предела.

Окей, если упёрлись в этот предел, то будем пытаться нарастить этот интеграл сдвиганием нижнего предела $b'$. Условие говорит: если вы задались числом $M$, которое не может превзойти $| \int_{b'}^{b''} |$, то как угодно двигать $b'$ вам запрещено. А вот где будет $b''$ -- плевать, лишь только оно $\in (b', b)$. Вот если в самом деле "плевать", то интеграл сходится, а если можно нарастить как угодно, двигая только $b''$ -- дело труба.

[Kevsh]

StaticZero в сообщении #1516792 писал(а):

Условие говорит: если вы задались числом $M$, которое не может превзойти $| \int_{b'}^{b''} |$, то как угодно двигать $b'$ вам запрещено. А вот где будет $b''$ -- плевать, лишь только оно $\in (b', b)$. Вот если в самом деле "плевать", то интеграл сходится, а если можно нарастить как угодно, двигая только $b''$ -- дело труба.

Вот эту часть я не очень понял. Где в условии говорится про число, которое не превосходит модуль этого интеграла ($M$)? Откуда оно берётся? Или тут имеется в виду, что для сходящегося интеграла мы можем взять любое такое число и подобрать для него $b'$ и $b''$ (то есть вы заменили $\varepsilon$ на $M$)? Как я понял мы делаем так: у нас есть некая $\varepsilon$, точкой $b''$ доходим до предела справа, точку $b'$ двигаем влево, пока не интеграл от $b'$ до $b''$ будет меньше заданной $\varepsilon$, теперь как бы мы не двигали $b''$ - превзойти $\varepsilon$ не получится, мы получили условие $|\int_{b'}^{b''}f(t)dt| < \varepsilon$. Если мы всё-таки захотим сдвинуть $b'$ левее, то $b''$ можно сдвинуть вместе с ней и всё равно получить то же условие.
Однако не совсем понятно, почему при этом всём интеграл $\int_0^1\frac{dx}{x}$ будет расходящимся, хотя вроде бы ситуация почти такая же - в точке $0$ функция стремится к $+\infty$. Хотя если взять ту же самую функцию, но другие пределы: $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}$, то функция тоже будет расходящейся, что понятно из вашего объяснения: ставим на место $b'$, $b''$ можем двигать бесконечно вправо и бесконечно наращивать модуль, интеграл расходится.

[StaticZero]

Kevsh в сообщении #1516824 писал(а):

Однако не совсем понятно, почему при этом всём интеграл $\int_0^1\frac{dx}{x}$ будет расходящимся

Ладно, давайте на этом примере. Прибьём гвоздями точку $1/2$ и будем смотреть на интегралы типа

$$ \int_{y}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{x}, \quad 0 < y < 1/2. $$

Рассмотрим, например, последовательность $y_n = \frac{1}{n+2}$, которую используем в качестве нижнего предела. Интегралы тогда

$$ \int_{y_n}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{x} = \ln \frac{1}{2 y_n} = \ln \frac{n+2}{2}. $$

Это сигнализирует о том, что всё плохо: модуль интеграла можно наращивать неограниченно без оглядки на что-либо ещё, просто "пододвигая" нижний предел к нулю. Условие уже заведомо не выполнено, ещё даже до того, как в рассмотрение введены эпсилоны.

Теперь возьмём корень: $ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt x}$ на том же отрезке, ту же последовательность нижних концов. Получаем:

$$ \int_{y_n}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{\sqrt x} = \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{n+2}} $$

Если пододвигать нижний конец к нулю путём устремления $n \to \infty$, то у интеграла конечный предел $\sqrt 2$.

Уже лучше. Теперь привлечём то, что там написано: для любого эпсильена существует... Ну вот возьмём $\varepsilon = 1$; тогда существует такой $b(1)$, что $| \int_{b'}^{b''} \frac{\mathrm dx}{\sqrt x} | < 1$ при всех $0 < b' < b'' < b(1)$.

В самом деле, значение интеграла $2(\sqrt {b''} - \sqrt {b'})$ продвижением $b' \to 0+$ можно нарастить не более, чем до $2 \sqrt {b''}$ (в случае $1/x$ мы получаем уже здесь неограниченный рост). Всё, здесь уже $b'$ выпал: "обнулением" мы достигли максимума. Наличие числа $b(1)$ такого, что при $0 < b'' < b(1)$ выполняется $2 \sqrt{b''} < 1$, очевидно. И так для каждого мыслимого $\varepsilon > 0$.

Геометрический смысл, если угодно, такой: если нас "запрут" между числом из отрезка $(a, b)$ с одной стороны и особенностью на конце отрезка с другой, то "топтанием" на этом пятачке мы бесконечный интеграл не получим.

[Padawan]

Kevsh
Почему бы Вам не ознакомиться с критерием Коши существования предела функции $\lim\limits_{x\to b-0} F(x)$ ?

[Kevsh]

StaticZero в сообщении #1516846 писал(а):

Kevsh в сообщении #1516824 писал(а):

Однако не совсем понятно, почему при этом всём интеграл $\int_0^1\frac{dx}{x}$ будет расходящимся

Ладно, давайте на этом примере. Прибьём гвоздями точку $1/2$ и будем смотреть на интегралы типа

$$ \int_{y}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{x}, \quad 0 < y < 1/2. $$

Рассмотрим, например, последовательность $y_n = \frac{1}{n+2}$, которую используем в качестве нижнего предела. Интегралы тогда

$$ \int_{y_n}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{x} = \ln \frac{1}{2 y_n} = \ln \frac{n+2}{2}. $$

Это сигнализирует о том, что всё плохо: модуль интеграла можно наращивать неограниченно без оглядки на что-либо ещё, просто "пододвигая" нижний предел к нулю. Условие уже заведомо не выполнено, ещё даже до того, как в рассмотрение введены эпсилоны.

Теперь возьмём корень: $ \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt x}$ на том же отрезке, ту же последовательность нижних концов. Получаем:

$$ \int_{y_n}^{1/2} \frac{\mathrm dx}{\sqrt x} = \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{n+2}} $$

Если пододвигать нижний конец к нулю путём устремления $n \to \infty$, то у интеграла конечный предел $\sqrt 2$.

Уже лучше. Теперь привлечём то, что там написано: для любого эпсильена существует... Ну вот возьмём $\varepsilon = 1$; тогда существует такой $b(1)$, что $| \int_{b'}^{b''} \frac{\mathrm dx}{\sqrt x} | < 1$ при всех $0 < b' < b'' < b(1)$.

В самом деле, значение интеграла $2(\sqrt {b''} - \sqrt {b'})$ продвижением $b' \to 0+$ можно нарастить не более, чем до $2 \sqrt {b''}$ (в случае $1/x$ мы получаем уже здесь неограниченный рост). Всё, здесь уже $b'$ выпал: "обнулением" мы достигли максимума. Наличие числа $b(1)$ такого, что при $0 < b'' < b(1)$ выполняется $2 \sqrt{b''} < 1$, очевидно. И так для каждого мыслимого $\varepsilon > 0$.

Геометрический смысл, если угодно, такой: если нас "запрут" между числом из отрезка $(a, b)$ с одной стороны и особенностью на конце отрезка с другой, то "топтанием" на этом пятачке мы бесконечный интеграл не получим.

Понял, большое спасибо. Я так понял, что именно по графику понять, сходится или расходится несобственный интеграл нереально, те же приведённые вами функции выглядят на указанных промежутках с виду почти одинаково. Вот и мне не особо получается представить, как это одна функция, которая в нуле не существует, а рядом с ним стремится к бесконечности даёт бесконечную площадь, а вторая, почти точно такая же, не даёт.