Что такое ротор векторного поля?

[Dgemmus]

Вот смотрите. Я умею вычислять ротор, и в курсе, что он характеризует завихренность векторного поля. Но вот вопрос: а что это за "завихренность"? Как она конкретно вычисляется, связана с угловой скоростью и что точно означает?
Вот был бы ротор банально вектором крутящего момента, создаваемого полем в этой самой конкретной точке, то все было бы просто чудесно, я бы все понимал. Мы бы могли, например, поместить какую-нибудь маленькую песчинку (при этом имеющую свою форму и обладающую существенным для расчетов моментом инерции) в данную точку водного потока, описываемого некоторым полем, и, предположив, что точка никуда не движется в потоке (т.е. покоится относительно берега), сказать, какой у нее будет момент импульса в любую секунду, ведь общеизвестно, что импульс вектора суммарного момента силы, в нашем случае создаваемого исключительно ротором в заданной точке, равен изменению момента импульса. Ну, а зная момент инерции и импульс момента, посчитали бы в любое мгновение угловую скорость песчинки.
Но что-то я не видел, чтобы кто-то отождествлял ротор и момент силы. Везде ротор объясняется либо как векторное произведение наблы и поля (суть вычислительного понимания), либо просто как "вектор, характеризующий вращение поля". Так что это за вращение? Кто-то где-то пишет про удвоенную угловую скорость маленькой пылинки. Но это-то маленькая пылинка. А что делать с большим телом сложной формы, увлекаемым струей движущейся среды? Как будет изменяться ЕГО угловая скорость?
Вот есть у меня ротор, я могу его в любой точке его изобразить, найти его длину, но что мне это дает? Вот как завращается тело с массой, если я помещу его в поле в данной точке (тело, т.к. это физический реальный объект, будет небольшой своей поверхностью лежать в некоторой «окрестности» это точки, в которой, допустим, вектор ротора не сильно отличается)?

[realeugene]

Разберитесь с теоремой Стокса.

[Padawan]

Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$ на симметричную и антисимметричную части. Симметричная описывает растяжение по трем взаимно перпендикулярным направлениям, а антисимметричная часть имеет вид $\vec\omega\times\vec r$. Так $\nabla\times \vec v=\nabla\times(\vec\omega\times\vec r)=2\vec\omega$

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #1516359 писал(а):

Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$ на симметричную и антисимметричную части.

Даже я ничего не понял. Что такое симметричный и асимметричный тензор знаю. Но симметричный и асимметричный вектор????


Судя по контексту, здесь еще могла бы идти речь о тензоре градиента вектора. Но тогда причем здесь $\vec v=A\vec r$ ??? Мда... не позавидуешь ученикам, у которых такие учителя

-- Вс май 02, 2021 12:26:04 --

Dgemmus в сообщении #1516347 писал(а):

Но вот вопрос: а что это за "завихренность"?

Ротор поля это, не точно говоря, циркуляция по бесконечно малому контуру. Что такое циркуляция понимаете? "не точно говоря" заключается в том, что надо еще поделить на площадь, охватываемую контуром и соответствующим образом сориентировать эту элементарную площадку.

[Padawan]

Линейное векторное поле это и есть линейный оператор. Просто по определению. $\vec v(\vec r)=A\vec r$, где $\vec r$ -- радиус-вектор, $A$ -- линейный оператор из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$. Линейный оператор можно разложить на симметричную и антисимметричную части. Значит, линейное векторное поле можно разложить на симметричную и антисимметричную части.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #1516365 писал(а):

Линейное векторное поле это и есть линейный оператор.

Вот-вот. Что-то такое расскажите ТС, и у него точно мозги станут набекрень. Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.


И да, очень интересно, как вы будете представлять ЛИНЕЙНЫМ оператором вот такое, самое обычное в физике, векторное поле:

$$ \vec{E} = \frac{\vec{r}}{|r|^3} $$

Не говоря уж о тоже обычном

$$ \vec{A} = \frac{\vec{r}e^{ik|r|}}{|r|^3} $$

Причем не каким угодно линейным оператором, а, как было сказано, именно линейным оператором из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$.


Впрочем, вопрос риторический, ответа не предполагает. И то, что математики очень любят (на мой взгляд совершенно напрасно) представлять векторное поле как дифференцирование, тоже мне рассказывать не надо( а ТС так просто ни в коем случае рассказывать не надо!)

[Padawan]

Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):

Вот-вот. Что-то такое расскажите ТС, и у него точно мозги станут набекрень. Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.

По определению векторное поле это есть отображение, которое тоске ставит вектор, то есть отображение из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$. В частности, это отображение может быть линейным. Если для Вас это заумь, то не знаю...

Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):

И да, очень интересно, как вы будете представлять ЛИНЕЙНЫМ оператором вот такое, самое обычное в физике, векторное поле

Формулу Тейлора знаете? Ротор есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому его значение в данной точке зависит только от линейных слагаемых в формуле Тейлора. Поэтому чтобы понять, как ротор действует на произвольное векторное поле, достаточно понять, как он действует на линейное векторное поле.

Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):

Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.

Вы тон смените, пожалуйста. Деятель тут Вы, раз простых вещей не понимаете.

[realeugene]

(Оффтоп)

Соглашусь: уровень ответа, явно не соответствующий уровню вопроса в ПРР, есть неуважение ТС.

[Padawan]

Dgemmus в сообщении #1516347 писал(а):

либо просто как "вектор, характеризующий вращение поля". Так что это за вращение?

То, что я выше писал (и что некоторым показалось "заумью") в теории упругости и в гидродинамике называется формула (или теорема) Коши-Гельмгольца. На этом свое участие в теме прекращаю.

[realeugene]

Padawan в сообщении #1516359 писал(а):

Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$

Что такое $\vec r$?

А, понял! Это была иллюстрация частного случая ротора, а не его определение.

[Pphantom]

Dgemmus, предупреждение за дублирование темы и хамство по отношению к отвечавшим здесь. Дубль удален.

[sergey zhukov]

Dgemmus
Возьмем малый квадратный элемент жидкости в двумерном потоке. Что с ним произойдет через малое время $dt$? Во первых, он немного переместится. Это нас не интересует. Во вторых, он немного деформируется. Учитывая, что элемент и время $dt$ малы, любая деформация этого элемента сводится к сумме двух сдвигов вдоль двух его сторон, как показано ниже (для простоты рассмотрим несжимаемую жидкость, так что изменения площади не происходит):

Ротор поля (в данном случае поля скоростей потока) равен разности "силы" этих сдвигов, т.е. разности длин отрезков $A$ и $B$. Общий случай первый. Один сдвиг поворачивает диагонали по часовой стрелке, второй - против. Сдвиги не равны, поэтому квадрат превращается в параллелограмм. Диагонали поворачиваются. Второй случай - сдвиги равны, при этом квадрат превращается в ромб. Диагонали не поворачиваются, происходит деформация без вращения, ротор равен нулю. Третий случай - сдвиги равны с разными знаками. Это соответствует вращению квадрата без деформации, оба сдвига вращают диагонали в одну сторону. Диагонали поворачиваются в одну сторону дважды. Отсюда пропорциональность ротора удвоенной угловой скорости диагоналей.

Ротор поля - это именно двойная мгновенная угловая скорость элемента жидкости. Если в данной точке в поток погрузить очень маленькую крыльчатку, то она будет вращаться с этой угловой скоростью. Если бы ротор был моментом, то крыльчатка раскручивалась бы в потоке неограниченно. Что будет с большим телом в потоке - это вообще отдельный вопрос, который для понимания ротора никак не поможет.

Ротор удобно объяснять на примере поля скоростей потока жидкости. Но можно найти ротор любого векторного поля.