2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 00:00 
Аватара пользователя


12/08/19
9
Вот смотрите. Я умею вычислять ротор, и в курсе, что он характеризует завихренность векторного поля. Но вот вопрос: а что это за "завихренность"? Как она конкретно вычисляется, связана с угловой скоростью и что точно означает?
Вот был бы ротор банально вектором крутящего момента, создаваемого полем в этой самой конкретной точке, то все было бы просто чудесно, я бы все понимал. Мы бы могли, например, поместить какую-нибудь маленькую песчинку (при этом имеющую свою форму и обладающую существенным для расчетов моментом инерции) в данную точку водного потока, описываемого некоторым полем, и, предположив, что точка никуда не движется в потоке (т.е. покоится относительно берега), сказать, какой у нее будет момент импульса в любую секунду, ведь общеизвестно, что импульс вектора суммарного момента силы, в нашем случае создаваемого исключительно ротором в заданной точке, равен изменению момента импульса. Ну, а зная момент инерции и импульс момента, посчитали бы в любое мгновение угловую скорость песчинки.
Но что-то я не видел, чтобы кто-то отождествлял ротор и момент силы. Везде ротор объясняется либо как векторное произведение наблы и поля (суть вычислительного понимания), либо просто как "вектор, характеризующий вращение поля". Так что это за вращение? Кто-то где-то пишет про удвоенную угловую скорость маленькой пылинки. Но это-то маленькая пылинка. А что делать с большим телом сложной формы, увлекаемым струей движущейся среды? Как будет изменяться ЕГО угловая скорость?
Вот есть у меня ротор, я могу его в любой точке его изобразить, найти его длину, но что мне это дает? Вот как завращается тело с массой, если я помещу его в поле в данной точке (тело, т.к. это физический реальный объект, будет небольшой своей поверхностью лежать в некоторой «окрестности» это точки, в которой, допустим, вектор ротора не сильно отличается)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 00:30 


27/08/16
9426
Разберитесь с теоремой Стокса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 02:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$ на симметричную и антисимметричную части. Симметричная описывает растяжение по трем взаимно перпендикулярным направлениям, а антисимметричная часть имеет вид $\vec\omega\times\vec r$. Так $\nabla\times \vec v=\nabla\times(\vec\omega\times\vec r)=2\vec\omega$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 08:20 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Padawan в сообщении #1516359 писал(а):
Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$ на симметричную и антисимметричную части.


Даже я ничего не понял. Что такое симметричный и асимметричный тензор знаю. Но симметричный и асимметричный вектор????


Судя по контексту, здесь еще могла бы идти речь о тензоре градиента вектора. Но тогда причем здесь $\vec v=A\vec r$ ??? Мда... не позавидуешь ученикам, у которых такие учителя :-(

-- Вс май 02, 2021 12:26:04 --

Dgemmus в сообщении #1516347 писал(а):
Но вот вопрос: а что это за "завихренность"?


Ротор поля это, не точно говоря, циркуляция по бесконечно малому контуру. Что такое циркуляция понимаете? "не точно говоря" заключается в том, что надо еще поделить на площадь, охватываемую контуром и соответствующим образом сориентировать эту элементарную площадку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 08:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Линейное векторное поле это и есть линейный оператор. Просто по определению. $\vec v(\vec r)=A\vec r$, где $\vec r$ -- радиус-вектор, $A$ -- линейный оператор из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$. Линейный оператор можно разложить на симметричную и антисимметричную части. Значит, линейное векторное поле можно разложить на симметричную и антисимметричную части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 11:08 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Padawan в сообщении #1516365 писал(а):
Линейное векторное поле это и есть линейный оператор.



Вот-вот. Что-то такое расскажите ТС, и у него точно мозги станут набекрень. Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.


И да, очень интересно, как вы будете представлять ЛИНЕЙНЫМ оператором вот такое, самое обычное в физике, векторное поле:

$$
\vec{E} = \frac{\vec{r}}{|r|^3}
$$

Не говоря уж о тоже обычном

$$
\vec{A} = \frac{\vec{r}e^{ik|r|}}{|r|^3}
$$

Причем не каким угодно линейным оператором, а, как было сказано, именно линейным оператором из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$.


Впрочем, вопрос риторический, ответа не предполагает. И то, что математики очень любят (на мой взгляд совершенно напрасно) представлять векторное поле как дифференцирование, тоже мне рассказывать не надо( а ТС так просто ни в коем случае рассказывать не надо!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 11:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):
Вот-вот. Что-то такое расскажите ТС, и у него точно мозги станут набекрень. Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.

По определению векторное поле это есть отображение, которое тоске ставит вектор, то есть отображение из $\mathbb R^3$ в $\mathbb R^3$. В частности, это отображение может быть линейным. Если для Вас это заумь, то не знаю...
Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):
И да, очень интересно, как вы будете представлять ЛИНЕЙНЫМ оператором вот такое, самое обычное в физике, векторное поле

Формулу Тейлора знаете? Ротор есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому его значение в данной точке зависит только от линейных слагаемых в формуле Тейлора. Поэтому чтобы понять, как ротор действует на произвольное векторное поле, достаточно понять, как он действует на линейное векторное поле.
Alex-Yu в сообщении #1516370 писал(а):
Меня просто поражают деятели, способные из простой вещи сделать какую-то чертову заумь.

Вы тон смените, пожалуйста. Деятель тут Вы, раз простых вещей не понимаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 12:11 


27/08/16
9426

(Оффтоп)

Соглашусь: уровень ответа, явно не соответствующий уровню вопроса в ПРР, есть неуважение ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 12:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Dgemmus в сообщении #1516347 писал(а):
либо просто как "вектор, характеризующий вращение поля". Так что это за вращение?

То, что я выше писал (и что некоторым показалось "заумью") в теории упругости и в гидродинамике называется формула (или теорема) Коши-Гельмгольца. На этом свое участие в теме прекращаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 12:20 


27/08/16
9426
Padawan в сообщении #1516359 писал(а):
Разложите линейное векторное поле $\vec v=A\vec r$
Что такое $\vec r$?

А, понял! Это была иллюстрация частного случая ротора, а не его определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 13:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Dgemmus, предупреждение за дублирование темы и хамство по отношению к отвечавшим здесь. Дубль удален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое ротор векторного поля?
Сообщение02.05.2021, 14:42 


17/10/16
3894
Dgemmus
Возьмем малый квадратный элемент жидкости в двумерном потоке. Что с ним произойдет через малое время $dt$? Во первых, он немного переместится. Это нас не интересует. Во вторых, он немного деформируется. Учитывая, что элемент и время $dt$ малы, любая деформация этого элемента сводится к сумме двух сдвигов вдоль двух его сторон, как показано ниже (для простоты рассмотрим несжимаемую жидкость, так что изменения площади не происходит):
Изображение
Ротор поля (в данном случае поля скоростей потока) равен разности "силы" этих сдвигов, т.е. разности длин отрезков $A$ и $B$. Общий случай первый. Один сдвиг поворачивает диагонали по часовой стрелке, второй - против. Сдвиги не равны, поэтому квадрат превращается в параллелограмм. Диагонали поворачиваются. Второй случай - сдвиги равны, при этом квадрат превращается в ромб. Диагонали не поворачиваются, происходит деформация без вращения, ротор равен нулю. Третий случай - сдвиги равны с разными знаками. Это соответствует вращению квадрата без деформации, оба сдвига вращают диагонали в одну сторону. Диагонали поворачиваются в одну сторону дважды. Отсюда пропорциональность ротора удвоенной угловой скорости диагоналей.

Ротор поля - это именно двойная мгновенная угловая скорость элемента жидкости. Если в данной точке в поток погрузить очень маленькую крыльчатку, то она будет вращаться с этой угловой скоростью. Если бы ротор был моментом, то крыльчатка раскручивалась бы в потоке неограниченно. Что будет с большим телом в потоке - это вообще отдельный вопрос, который для понимания ротора никак не поможет.

Ротор удобно объяснять на примере поля скоростей потока жидкости. Но можно найти ротор любого векторного поля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group