2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 17:10 


22/05/19
28
Необходимо проверить, что функция Эйри является решением уравнения Эйри $y''-xy=0$

Функция Эйри $y(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt$.

Дифференцирую $y$ по $x$ под знаком интеграла
$y''=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}t^2\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt=$
$=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}(t^2+x)\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}x\cos(\frac{t^3}{3}+xt)dt=$
Второе слагаемое есть $xy$.
Разбираемся с первым
$-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\frac{t^3}{3}+xt)d(\frac{t^3}{3}+xt)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(\alpha)d(\alpha)$

Ведь это же ноль? И вроде, интуитивно понятно. Но как это аккуратно показать?
Или я вообще где-то ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 17:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Второй раз нельзя дифференцировать под знаком интеграла. Расходящийся интеграл получается. Что Вы и показали. Хитрее надо действовать. Попробуйте ввести множитель сходимости $e^{-\beta t}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 17:30 


22/05/19
28
Padawan в сообщении #1516310 писал(а):
Попробуйте ввести множитель сходимости $e^{-\beta t}$.

После первого дифференцирования или сразу?

-- 01.05.2021, 18:31 --

Padawan в сообщении #1516310 писал(а):
Второй раз нельзя дифференцировать под знаком интеграла

Почему, чем отличается от предыдущего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 18:44 


20/04/10
1776
Уравнение легко решается если перейти к Фурье образу, а затем обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 18:50 


22/05/19
28
Но мне не надо уравнение решать, надо проверить что это решение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 19:11 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Рассмотрите функцию $y_\beta(x)=\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty}e^{-\beta t}\cos(t^3/3+xt)dt$, где $\beta>0$, и запишите какому дифференциальному уравнению она удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 20:18 


22/05/19
28
Видимо, что-то не сложное, но не могу придумать. Как я понимаю, можно продифференцировать один раз по $x$, но там вылезет синус. Наверное, уравнение 1-го порядка будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 20:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Так точно то же, что Вы делали при $\beta=0$.

-- Сб май 01, 2021 22:33:51 --

Будет уравнение $y''=xy+g_\beta(x)$, где $g_\beta(x)$ равномерно стремится к нулю при $\beta\to 0+0$ на любом конечном отрезке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 22:15 


22/05/19
28
А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Polarny в сообщении #1516339 писал(а):
А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?

Сравните
$$
\int \limits^\infty t^2 e^{-\beta t} \cos f(t) \ \mathrm dt \quad \text{vs} \quad \int \limits^\infty t^2 \cos f(t) \ \mathrm dt
$$
Кому из них верите, что он сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение01.05.2021, 23:14 


22/05/19
28
Просто не пойму вот чего - беру функцию, дважды дифференцирую - получаю расходящийся интеграл.
Но если беру эту функцию как предел другой при некотором стремлении параметра, то всё работает.
Но это же одна и та же функция.
Возможно, глупый вопрос

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение02.05.2021, 13:51 


26/04/11
90
Polarny в сообщении #1516342 писал(а):
Возможно, глупый вопрос

Это пробелы в образовании.

По поводу экспоненциальной добавки см. Фихтенгольц-2, п.520.
По поводу дифура для функции Эйри -- Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции (М.:Наука,1990), пп.8.1-8.3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение02.05.2021, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Polarny в сообщении #1516339 писал(а):
А почему здесь я имею право дважды дифференцировать, а перед этим не имел?
Берёте учебник математического анализа (например, трёхтомник Фихтенгольца), открываете раздел о несобственных интегралах, зависящих от параметра, и тщательно его изучаете. При необходимости штудируете также разделы, на которые есть ссылки из этого раздела, и так далее. В итоге получаете ответ на свой вопрос. По-моему, короче никак.

Конечно, здесь Вам могут просто процитировать соответствующую теорему, но Вы вряд ли поймёте, что она означает, раз Вы об этом раньше ничего не слышали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение03.05.2021, 16:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Farest2 в сообщении #1516419 писал(а):
По поводу дифура для функции Эйри -- Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции (М.:Наука,1990), пп.8.1-8.3.

Там сначала несобственный интеграл преобразуется в интеграл по контуру в комплексной плоскости. Я предлагал чисто вещественное доказательство, правда использующее нетривиальную теорему о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий и от параметра. Поскольку ТС не отвечает, напишу основные моменты.
1) Для $\beta>0$ рассматриваем функцию $y_\beta(x)=1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t}\cos(t^3/3+xt)dt$. Известно (см. приведённую выше ссылку на Фихтенгольца-2, п. 520), что для любого фиксированного $x$ выполнено $\lim\limits_{\beta\to 0+0} y_\beta(x)=y_0(x)$, где $y_0(x)=1/\pi\int\limits_0^\infty \cos(t^3/3+xt)dt$ -- наша функция Эйри. (на самом деле сходимость является равномерной на любом конечном отрезке $x\in [a,b]$, но здесь достаточно поточечной сходимости. Хотя дальше равномерную сходимость для аналогичного интеграла всё равно придётся доказывать.)
2) При $\beta>0$ законно дифференцирование $y_\beta(x)$ по $x$ под знаком интеграла любое число раз. Дифференцируем два раза
$$
y_\beta''(x)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}t^2\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=$$
$$
=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}(t^2+x)\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-\beta t}\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=g_\beta(x)+xy_\beta(x),
$$
где
$$
g_\beta(x)=-\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\beta t}(t^2+x)\cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right)dt=(\text{по частям})=-\frac{\beta}{\pi}\int\limits_0^\infty e^{-\beta t} \sin\left(\frac{t^3}3+xt\right)dt
$$
3) Таким образом, функция $y_\beta(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''=xy+g_\beta(x)$ и начальным условиям $IC_\beta:$ $y(0)=1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t}\cos(t^3/3)dt$, $y'(0)=-1/\pi\int\limits_0^\infty e^{-\beta t} t\sin(t^3/3)dt$. Функция $g_\beta (x)$ при $\beta\to 0+0$ равномерно стремится к нулю на любом конечном отрезке $x\in[a,b]$ (это надо доказать), а начальные условия стремятся к начальным условиям $IC_0:$ $y(0)=1/\pi\int\limits_0^\infty \cos(t^3/3)dt$, $y'(0)=-1/\pi\int\limits_0^\infty t\sin(t^3/3)dt$. По теореме о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий и параметров, функция $y_\beta(x)$ при $\beta\to 0+0$ стремится к решению дифференциального уравнения $y''=xy$ с начальными условиями $IC_0$. Но $y_\beta(x)\to y_0(x)$. Значит, $y_0(x)$ является решением уравнения $y''=xy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Эйри
Сообщение03.05.2021, 18:45 


20/04/10
1776
На самом деле это проблема сродни интегральному представлению дельта функции Дирака. Как известно $\delta(1)$ должно быть равно нулю, но на первый взгляд интеграл расходящийся. Можно поступить так: определить дельта функцию как предел интеграла с пределами интегрирования, подобранными так, что при стремлении пределов к бесконечности интеграл равен нулю всюду, кроме точки ноль, где он расходится. То есть интегрирование постоянно ведётся по целому числу периодов, которое устремляется к бесконечности. Тогда не будет проблем ни с дельта функцией, ни с этой задачей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group