степень расширения поля

[RIP]

Пусть $\theta$ — вещественный корень, $\mathbb E=\mathbb Q(\theta)$. Тогда $[\mathbb E:\mathbb Q]=3$ и $[\mathbb K:\mathbb E]\leqslant2$. Поскольку $\mathbb K$ не вещественное, то $\mathbb K\ne\mathbb E$.

[Таня Тайс]

Теперь очевидно! Спасибо ёще раз ВСЕМ!!!

[Таня Тайс]

Задача по алгебре.
Доказать, что если

$$[L:K] $$

нечётно и конечно, то для

$$ \alpha \in L $$

верно , что

$$ K(\alpha)=K(\alpha ^{2}).$$

Мои мысли:

$$ K(\alpha^{2}) \subset K(\alpha )$$

выполняется всегда, достаточно написать базис (базу?) этих двух линейных пространств.
Для

$$ K(\alpha) \subset K(\alpha ^{2})$$

важно, что

$$[L:K] $$

нечётно. Тогда и

$$[K(\alpha) :K] $$

нечётно, т.е.

$$ \alpha $$

является корнем полинома нечётной степени,
а значит,

$$ \alpha^{2} $$

не принадлежит

$$K$$

, если

$$ \alpha $$

ему не принадлежит.

Подскажите, что дальше? Надо как -то доказать, что у них одинаковый минимальный полином? Или что если

$$ \alpha^{2} $$

корень, то и

$$ \alpha $$

корень? Или что-то ещё?

[RIP]

Что можно сказать про степень расширения $K(\alpha^2)\subset K(\alpha)$?

[Таня Тайс]

Степень расширения

$$ [K(\alpha ^{2}):K(\alpha)] \leq 2 $$

, т.к.
....?

$$ K(\alpha ^{2})=K(\alpha ,\alpha) $$

, поэтому, что ли...
Мы знаем, что

$$ [K(\alpha ^{2}):K(\alpha)] $$

нечётно, значит

$$ [K(\alpha ^{2}):K(\alpha)] =1$$

.
Спасибо, не знаю, как и благодарить...

[RIP]

Таня Тайс писал(а):

Степень расширения

$$ [K(\alpha ^{2}):K(\alpha)] \leq 2 $$

,

Это почти верно: на самом деле $[K(\alpha):K(\alpha^2)]\leqslant2$.

Таня Тайс писал(а):

т.к.
....?

$$ K(\alpha ^{2})=K(\alpha ,\alpha) $$

, поэтому, что ли...

Вы какую-то глупость написали. Воспользуйтесь тем, что $K(\alpha)=F(\alpha)$, где $F=K(\alpha^2)$.
А в общем идею Вы поняли.

[maxal]

Таня Тайс, замечание за дублирование тем. Раз уж завели одну тему по расширениям полей - так и пишите там. Темы объединены.

[e7e5]

Таня Тайс писал(а):

Для меня это загадка - как решить эту задачу проще...

А график - куб и прямая?

[Таня Тайс]

Я уже написала в этой теме столько глупостей, что совсем не хочу её ещё раз поднимать. Но не могу понять...

e7e5 писал(а):

А график - куб и прямая?

е7е5
намекните, плиз , что Вы имеете в виду?