Не понятно простое утверждение о линейных многообразиях

[pkunlim]

Из доказательства, что направляющее пространство (однородная часть) для заданного подпространства определяется однозначно:

" Пусть $W_i$ - подпространство в линейном пространстве $V$ и $x_i$ - некоторый вектор из $V$, $i={1,2}$.
$M=x_1+W_1=x_2+W_2$
Отсюда $x_1 - x_2 \in W_1 \cap W_2$. [...]"

(Вот как раз это отношение принадлежности и не понятно, если расписать $M$ через представление в виде множества векторов вида $m=x_1+w_1=x_2+w_2; w_1 \in W_1, w_2 \in W_2$, то $x_1 - x_2 = w_1 - w_2$, что как комбинация векторов из $W_1$ и $W_2$ есть множество векторов из $W_1+W_2$, а не из $W_1 \cap W_2$)

Доказательство идет далее, привожу для понимания контекста:
" Пусть $y \in W_1$ , тогда $y+(x_1 - x_2) \in W_2 \Rightarrow y \in W_2$. Аналогично, если $y \in W_2$ , тогда $y+(x_2 - x_1) \in W_1 \Rightarrow y \in W_1$, ч.т.д. "

(Здесь также, если честно, не понятно: если $y \in W_1$ тогда, учитывая, что ранее мы установили, что $x_1 - x_2 \in W_1 \cap W_2$, то тогда $y+(x_1 - x_2) = y + w'_1= y + w'_2$, где $w'_1 = w'_2 \in W_1 \cap W_2$, то есть выражение представляется как:

1. комбинация вектора $y \in W_1$ и вектора $w'_1 \in W_1 \Rightarrow y+(x_1 - x_2) \in W_1$ , а не $\in W_2$, либо

2. комбинация вектора $y \in W_1$ и вектора $w'_2 \in W_2$, и здесь $y+(x_1 - x_2)$ может не принадлежать ни одному из $W_1, W_2$).

По моей (видимо, неверной) логике, утверждения в доказательстве относительно отношений принадлежности весьма неоднозначные. Как вообще аналитически определять отношения принадлежности в данных примерах многообразий, если не по принципу, что я использовал - через представление в произвольных векторах из подмножеств?

[vpb]

Запись $x+W$ означает $\{x+w\mid w\in W\}$, т.е. множество всех элементов, представимых в виде $x+w$, где $w\in W$. В частности, $x_1=x_1+0\in x_1+W_1=x_2+W_2$, значит $x_1=x_2+w_2$ для некоторого $w_2\in W_2$, откуда $x_1-x_2=w_2\in W_2$.

[pkunlim]

vpb в сообщении #1515759 писал(а):

В частности, $x_1=x_1+0\in x_1+W_1=x_2+W_2$, значит $x_1=x_2+w_2$ для некоторого $w_2\in W_2$, откуда $x_1-x_2=w_2\in W_2$.

Понятно, это получается в частном случае, а в общем случае $x_1-x_2 \in W_1+W_2$ , насколько я понимаю, что не исключает частного случая принадлежности пересечению подмножеств, на который опирается доказательство. Верно?

[Someone]

pkunlim в сообщении #1515767 писал(а):

Понятно, это получается в частном случае, а в общем случае $x_1-x_2 \in W_1+W_2$ , насколько я понимаю, что не исключает частного случая принадлежности пересечению подмножеств, на который опирается доказательство. Верно?

Нет, неверно. Откуда Вы взяли $W_1+W_2$? vpb показал, что $x_1-x_2\in W_2$. Теперь немного напрягитесь и покажите,что $x_2-x_1\in W_1$. А отсюда уже недалеко и до доказательства того, что $W_1=W_2$.

[vpb]

Боюсь, вы смысла оборота "в частности" не понимаете. Пример: Сократ --- древний грек; все древние греки давно померли; в частности, Сократ давно помер. Что такое $x+W$, вы, кажется, тоже так и не поняли ... в общем, вы не понимаете используемых слов и оборотов. В такой ситуации весьма рекомендуется сначала почитать учебники, начиная с самых простых, и лишь затем, когда вы будете понимать достаточно много, за какими-то частностями можно обращаться на форум.

[pkunlim]

vpb в сообщении #1515779 писал(а):

Боюсь, вы смысла оборота "в частности" не понимаете.

В любом случае спасибо за помощь. Я как раз и начал с самых азов алгебру изучать. Оборот "в частности" я понимаю: это означает отдельный элемент из множества.

Поясню. что я имел в виду:
как раз к вопросу "откуда вы взяли $W_1+W_2$ ?" -

vpb в сообщении #1515759 писал(а):

Запись $x+W$ означает $\{x+w\mid w\in W\}$, т.е. множество всех элементов, представимых в виде $x+w$, где $w\in W$. В частности, $x_1=x_1+0\in x_1+W_1=x_2+W_2$, значит $x_1=x_2+w_2$ для некоторого $w_2 \in W_2$, откуда $x_1-x_2=w_2\in W_2$.

Аналогично: в частности,
$x_1=x_1+w_1; w_1 \ne 0$
$x_1+w_1 = x_2+w_2; w_2 \ne 0$

$x_1 - x_2 = w_2 - w_1; w_1, w_2 \ne 0$, значит для некоторых $w_1 \ne 0 \in W_1, w_2 \ne 0 \in W_2$ имеем $x_1 - x_2$ как сумму векторов ($w_1$ и $-w_2$) $\in W_1+W_2$ как сумма вектора из $W_1$ и вектора из $W_2$.

Здесь я повторил Ваши рассуждения про множество векторов заданного вида, в частности, с некоторыми ненулевыми векторами из подмножеств, такими, что $w_1, w_2 \notin W_1 \cap W_2$.
Но также $x_1 - x_2 \in W_1 \cap W_2$ и
$x_1 - x_2 \in W_1 + W_2 \Rightarrow W_1 \cap W_2 = W_1 + W_2 \Rightarrow W_1=W_2$

Верно? (в целом то понятно, что верно, я имею в виду, верно ли я понял принцип оригинального доказательства, по сути мы получаем, что пересечение подмножеств равно их сумме, откуда получаем равенство подмножеств).

-- 27.04.2021, 14:11 --

Someone в сообщении #1515774 писал(а):

Теперь немного напрягитесь и покажите,что $x_2-x_1\in W_1$

Это мне очевидно, после рассмотрения $w_1 = 0$

Я о том, что $W_1+W_2 = W_1\cap W_2$

[Someone]

pkunlim в сообщении #1515750 писал(а):

" Пусть $W_i$ - подпространство в линейном пространстве $V$ и $x_i$ - некоторый вектор из $V$, $i={1,2}$.
$M=x_1+W_1=x_2+W_2$
Отсюда $x_1 - x_2 \in W_1 \cap W_2$. [...]"

(Вот как раз это отношение принадлежности и не понятно

Ну, ведь vpb продемонстрировал, что

vpb в сообщении #1515759 писал(а):

В частности, $x_1=x_1+0\in x_1+W_1=x_2+W_2$, значит $x_1=x_2+w_2$ для некоторого $w_2\in W_2$, откуда $x_1-x_2=w_2\in W_2$.

И Вы заявляете, что

pkunlim в сообщении #1515800 писал(а):

Someone в сообщении #1515774 писал(а):

Теперь немного напрягитесь и покажите,что $x_2-x_1\in W_1$

Это мне очевидно, после рассмотрения $w_1 = 0$

А если $x\in A$ и $x\in B$, то $x\in A\cap B$. Просто по определению пересечения множеств.

pkunlim в сообщении #1515800 писал(а):

$x_1=x_1+w_1; w_1 \ne 0$

Вы не находите это равенство немного странным? Вероятно, опечатка.

[vpb]

Кажется, я понял вашу ситуацию. Короче: Тыртышников человек известный, но как автор учебников весьма неважный, имхо. Впрочем, когда я вам написал по-нормальному, вы этого тоже не поняли. Попробуем еще раз.

Итак, имеем: $x_1+W_1$ --- это множество всех элементов ("векторов") вида $x_1+w_1$, где $w_1$ --- какой-то элемент из $W_1$, а $x_2+W_2$ --- аналогично определяется. Имеем, что множества $x_1+W_1$ и $x_2+W_2$ совпадают. Надо доказать, что $W_1=W_2$. Элемент $x_1$ представляется как $x_1+0$, поэтому он лежит в $x_1+W_1$. Значит, он имеет вид $x_2+w_2$, для некоторого $w_2\in W_2$. Итак, $x_1=x_2+w_2$. Значит, $x_1-x_2=-w_2$ --- элемент из $W_2$. Аналогично, $x_1-x_2$ лежит и в $W_1$. Таким образом, $x_1-x_2\in W_1\cap W_2$. ... Ну а как дальше рассуждать (у Тыртышникова дальше фигня написана !), что-то даже и не вижу.

Попробуем по другому. Пусть $w_1$ --- произвольный элемент из $W_1$. Тогда и $x_1$, и $x_1+w_1$ --- оба элементы из $x_1+W_1$. А потому они оба --- элементы из $x_2+W_2$. То есть $x_1=x_2+y_1$, и $x_1+w_1=x_2+y_2$, для некоторых $y_1, y_2\in W_2$. А теперь имеем $w_1=(x_1+w_1)-x_1=(x_2+y_2)-(x_2+y_1)=y_2-y_1\in W_2$. Значит, $w_1\in W_2$. Поскольку $w_1$ брался произвольным элементом из $W_1$, то видим, что $W_1\subseteq W_2$. Аналогично и $W_2\subseteq W_1$. Значит, $W_1=W_2$.

Кострикина Введение в алгебру лучше почитайте.

[pkunlim]

Someone в сообщении #1515811 писал(а):

Вы не находите это равенство немного странным? Вероятно, опечатка.

Да, это я ахинею написал, надо было $m_1=x_1+w_1; w_1\ne 0$

Про пересечение множеств я понял после первого ответа от vpb
Я лишь хотел показать, откуда изначально берется $W_1+W_2$ , определенное как множество сумм элементов из пар декартова произведения.

Если рассматривать $x_1+w_1 = x_2+w_2$ ; для некоторых $w_1\ne 0, w_2\ne 0$, то естественным образом получается $(x_1 - x_2 = w_2 - w_1) \in W_1+W_2$, при этом это не противоречит $x_1 - x_2 \in (W_1 \cap W_2) \subset W_1+W_2$

При дальнейшем рассмотрении, конечно, получаем, что $W_1=W_2 \Rightarrow W_1 \cap W_2 = W_1+W_2$

Всем спасибо за помощь. Если и здесь я написал где-то ахинею про отношения множеств или элементов - прошу снова поправить, мне будет очень полезно.
В остальном можно считать тему закрытой.

vpb в сообщении #1515836 писал(а):

Кострикина Введение в алгебру лучше почитайте.

Посмотрю, спасибо, лишним не будет. А так в целом у Тыртышникова, на мой взгляд, неплохо написано, бывают вот такие моменты, где начинаешь тупить, а в остальном при дополнительном использовании википедии можно разобраться.

[vpb]

pkunlim в сообщении #1516374 писал(а):

а в остальном при дополнительном использовании википедии можно разобраться.

Вы как-то вверх ногами смотрите, где искать знания. Нормально наоборот: иногда что-то прочитаешь в сети (в википедии, например), после чего берешь толстый учебник и разбираешься как следует. Т.е. учебники служат, чтоб разобраться, что же там на заборе написано (и есть ли в надписи на заборе вообще смысл), а никак не наоборот ! Или еще проще: по википедии не учатся. И если какой-то учебник требует, по вашему мнению, периодического обращения к википедии --- значит, вы не тот учебник читаете.