Точность представления

[Nickspa]

Выяснить, является ли присоединённое представление группы Ли $SO_3(\mathbb{R})$ точным.

Пусть матрица $S\in SO_3(\mathbb{R})$, $A$ - кососимметричная матрица (то есть принадлежит алгебре Ли группы $SO_3(\mathbb{R})$.
Надо найти все такие $S$, что $SAS^{-1}=A$ для любой $A$ (или $SA=AS$). Если такая только единичная, то представление точно.

Пробовал в лоб, т.е. беру произвольную $S$ и смотрю какие $S$ сохраняют например матрицу

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}$$

.

Но получается система из немалого числа уравнений. Можно какими-то другими рассуждениями показать?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1515489 писал(а):

Можно какими-то другими рассуждениями показать?

Можно, если вспомнить, что группа $SO_3({\mathbb R})$ простая.

Nickspa в сообщении #1515489 писал(а):

Но получается система из немалого числа уравнений.

Однако её множество решений описывается весьма просто (если вы ее правильно выписали, конечно).

[Nickspa]

vpb в сообщении #1515505 писал(а):

Можно, если вспомнить, что группа $SO_3({\mathbb R})$ простая

Это я как знаю (доказывал). То есть только единичная матрица коммутирует со всеми элементами $SO_3$.
Но как это связано с алгеброй? Ведь мы действуем сопряжением на элементы алгебры, и нам нужны матрицы из $SO_3$, которые коммутируют со всеми кососимметричными.

[Nickspa]

Вроде, понял