LC колебания

[paranoidandroid]

Имеем колебательный контур (контур идеальный) и я хочу посчитать период его колебания.

По закону сохранения энергии $\frac{{I(t)}^2L}{2}+\frac{{Q(t)}^2}{2C}= \operatorname{const}$ в результате дифференцирования этого уравнения получим: $LC \frac{d^2 Q(t)}{d t^2} +Q(t)=0$ . Отсюда найдем все.

В ютуб я видел альтернативное утверждение. Там сказали, что по закону ома $U_c + U_L=0$ где $U_c=\frac{Q(t)}{C}$ и $U_L=L\frac{dI(t)}{dt}$.

Вопрос: При чем здесь закон ома?



У меня есть идея: Формально написать правило Кирхгофа (см. рисунок) $0=U_c + U_L$. Но не знаю, насколько я прав..

[realeugene]

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

При чем здесь закон ома?

Ни при чём. Больше не смотрите этот канал.

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

Формально написать правило Кирхгофа (см. рисунок) $0=U_c + U_L$.

И так тоже можно.

[arseniiv]

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

и я хочу посчитать период его колебания

Попробуйте анализ размерностей — просто соберите выражение размерности времени из индуктивности и ёмкости. Плюс надо будет умножить это на $2 \pi$, потому что уйма подобных формул периода выглядит как $2 \pi \, \sqrt{\text{одни буквы}}$. Не ошибётесь.

-- Пт апр 23, 2021 21:08:45 --

(Корень намекает, что проще будет собирать выражение с размерностью квадрата времени.)

-- Пт апр 23, 2021 21:10:44 --

То есть понятно, что моё предложение чисто эвристическое, но ассортимент таких тоже полезно себе иметь. Если вы встретите какую-то неизвестную колебательную систему, которая даёт незатухающие гармонические колебания и характеризуется величинами $A, B, C, \ldots$ (и тут ещё можно заодно поставить под сомнение задачу, если этих величин не ровно две), то скорее всего период получится таким способом как выше.

-- Пт апр 23, 2021 21:19:08 --

arseniiv в сообщении #1515428 писал(а):

потому что уйма подобных формул периода выглядит как $2 \pi \, \sqrt{\text{одни буквы}}$

В принципе за этим должна стоять какая-то строгая теорема: если величины определены так-то и так-то (нам важно, чтобы коэффициент $2 \pi$ никто не съел), то будет такой вид. Не имею понятия, как она в точности могла бы формулироваться и какой круг простых физических систем обслужить.

[paranoidandroid]

realeugene , arseniiv Большое спасибо ^.^

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

Формально написать правило Кирхгофа (см. рисунок) $0=U_c + U_L$.

Так тоже можно, но Вы должны хорошо разобраться\понимать почему:
а) ЭДС самоиндукции это $\varepsilon = - L \frac{dI}{dt}$
б) а в качестве $U_L$ подставляется $L \frac{dI}{dt}$ без минуса.

[paranoidandroid]

а) $ \Delta I \sim \Delta \Phi $ $\Rightarrow$ $\Delta I=L \Delta \Phi$ ; По определению $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\varepsilon$ а если

$ \Delta t \rightarrow 0 $ $\Rightarrow$ $\frac{d \Phi }{dt}=\varepsilon=-L \frac{dI}{dt}$ а минус означает что эдс самоиндукции всегда действует против изменении магнитного патока.

б) Почему подставляется $U_L=L\frac{dI}{dt}$ без минуса.. я думаю что если ток течет по часовой (в нашем случае) по правилу Кирхгофа
эдс конденсатора будет положительный а эдс самоиндукции берем отрицательным знаком
$\varepsilon _C+ (-\varepsilon _{L})=0$ $\Rightarrow$ $U_C-(-L\frac{dI}{dt})=0$.

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1515459 писал(а):

По определению $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\varepsilon$ а если

Ага. Тут-то дыры в знаниях и вскрылись

1. Это не определение, а закон Фарадея. Записывается он так:
$\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}$
Именно так - с минусом! Разберитесь, пожалуйста, откуда он (закон Фарадея и минус в нём) берется, самостоятельно.

2. Если поток через поверхность, натянутую на контур, создаёт ток в самом контуре, то поток пропорционален току:
$\Phi = LI$
Опять же, разберитесь самостоятельно, почему он пропорционален. И в каких случаях он не пропорционален.
Коэффициент пропорциональности $L$ называется индуктивностью.

3. Тогда ЭДС самоиндукции равно: $\varepsilon = - L \frac{dI}{dt}$ (опять же с минусом!)

4. Теперь вспоминаем второе правило Кирхгофа. Оно звучит так: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС,

записываем его: $U_C = \varepsilon = - L \frac{dI}{dt}$
ЭДС мы записали в правую часть, потому что... это ЭДС, а не падение напряжения
и только после переноса в левую часть минус меняется на плюс:
$U_C = \varepsilon + L \frac{dI}{dt} = 0$

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1515490 писал(а):

и только после переноса в левую часть минус меняется на плюс:
$U_C = \varepsilon + L \frac{dI}{dt} = 0$

Тут у меня опечатка, артефакт копипасты. Надо так, конечно:
$U_C + L \frac{dI}{dt} = 0$

[paranoidandroid]

Очень благодарен, вы все объяснили прям изумительно ^.^ У меня возник еше одие вопрос. Допустим имеем такое же цепь но, вместо катушки, есть резистор и хотим написать зависимость $U=U(t)$ как изменяется напряжение на обкладках конденсатора в течении времени.

Из Кирхгофа $U_R+U_C=0 $

$ \frac{dQ(t)}{dt}R+\frac{Q(t)}{C}=0$

$\int_{Q_0}^{Q}\frac{dQ}{Q}=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}dt \Rightarrow Q(t)=Q_{0}e^{-\frac{1}{RC} t}$ и отсюда

$U(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{Q_0}{C}e^{-\frac{1}{RC} t}=U_{0}e^{-\frac{1}{RC} t}$

Это правда?

[Emergency]

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

При чем здесь закон ома?

Формально, по закону Ома $U_C= IR_C, U_L=IR_L$. Отсюда $R_C=R_L$, $R_C=i\omega L, R_L=i/\omega L$
$\omega^2=1/LC$

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1515532 писал(а):

Это правда?

Да, конечно.
Классика жанра - разряд конденсатора через сопротивление.
Почитайте про $RC$ и $LR$ цепочки. Там и другие варианты рассматриваются, например, заряд конденсатора через сопротивление "ступенькой" напряжения.

[paranoidandroid]

Благодарю ^.^

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

paranoidandroid в сообщении #1515422 писал(а):

Вопрос: При чем здесь закон ома?

Вы не расслышали, это не по закону ома, это по закону омерты. По которому итальянская гальванивольтовская мафия карает тех, кто несёт фигню в ютубе. А также тех, кто её слушает...

[paranoidandroid]

Вот адрес.. https://youtu.be/SCqLt42Nm78

Таим код - 1:30