Матричная конструкция

[serval]

При исследовании пифагоровых троек я обнаружил матричную конструкцию внешне напоминающую коммутатор

$AB - BA$

которая имеет вид

$A^T P B - B^T P A$

где индекс $T$ означает транспонирование.

Имеет ли эта конструкция какой-нибудь стандартный смысл?

[arseniiv]

Полезно бы узнать, симметрична ли $P$. Если да, тогда это как минимум $(A^T P B) - (A^T P B)^T$.

P. S. Или если асимметрична, тогда это $(A^T P B) + (A^T P B)^T$.

-- Пт апр 23, 2021 02:00:19 --

Если считать, что матрицы $A, B$ представляют какие-то дважды контравариантные тензоры $a, b$ (а не линейные операторы), то транспонирование — просто смена их аргументов местами, и если считать, что $P$ представляет билинейную форму $p$, то $A^T P B$ представляет тензор, полученный действием $p$ на первых аргументах $a, b$ в $a \otimes b$, и $B^T P A$ представляет тензор, полученный действием $p$ на первых аргументах $a, b$ в $b \otimes a$.

Если бы вместо $a, b$ были просто векторы $u, v$, то мы бы получили $p(u, v) - p(v, u)$ — антисимметризация формы $p$, применённая к $u, v$, а тут у нас то же, но применённое частично к $a, b$.

Если разложить $a = \sum_{i \in I} a_{i 1} \otimes a_{i 2}$ и $b = \sum_{j \in J} b_{j 1} \otimes b_{j 2}$, то мы имеем дело с выражением

$$\sum_{i \in I} \sum_{j \in J} \left( p(a_{i 1}, b_{j 1}) \, a_{i 2} \otimes b_{j 2} - p(b_{j 1}, a_{i 1}) \, b_{j 2} \otimes a_{i 2} \right),$$

не особо красиво из-за перекручивания вторых аргументов. Если $p$ антисимметричная, то выражение упростится до

$$2 \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} p(a_{i 1}, b_{j 1}) \, (a_{i 2} \otimes b_{j 2} + b_{j 2} \otimes a_{i 2}).$$

Если всё-таки надо понимать $A, B$ как матрицы операторов, всё будет не так красиво из-за участия скалярного произведения при транспонировании.

[serval]

Для пифагоровых троек

$P_2=\begin{pmatrix} 0& 1& 2\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

Здесь матицы выступают только в контексте скалярных произведений и равенства $a^2=c^2-b^2,\ b^2=c^2-a^2$ имеют вид соответственно

$\left\langle P_2\ L T^v\right\rangle = \left\langle T^v T^u\ P_2\ L \right\rangle$

$\left\langle P_2\ T^u T^v\right\rangle = \left\langle T^v L\ P_2\ T^u \right\rangle$

где скобки $\left\langle \ ,\ \right\rangle$ означают векторы $e_1\ ,\ e^1$ соответственно

$e_1=(0,0,1)$

$e^1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

а матрицы $T^v,\ T^u,\ L$ имеют вид

$A_1= \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ x& 1& 0\\ x(x-1)/2& x& 1 \end{pmatrix}$

где $x$ принимает значения $vt,\ ut,\ l$ соответственно.

Как получить матрицу $A_1$ я покажу немного позже.

[serval]

Извините, спешил по делам и забыл пояснить, что все матрицы, стоящие слева от матрицы $P_n$ являются транспонированными относительно своей исходной (нижней треугольной) формы.