Биссектральные треугольники

[TR63]

Все треугольники можно разделить на три непересекающиеся класса $\{M_1;M_2;M_3\}$: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.

Определение: треугольник, вершины которого являются основаниями биссектрис к противоположным сторонам какого-либо треугольника, называется биссектральным по отношению к этому треугольнику.

Вопрос 1: верно ли, что все биссектральные треугольники в каждом из классов$\{M_1;M_2;M_3\}$ одного вида (т.е., вид биссектральных треугольников" в каждом из классов $\{M_1;M_2;M_3\}$ непрерывен по отношению к свойству "остроугольность", "прямоугольность", "тупоугольность"; иначе - в каждом из классов не может быть биссектральных треугольников более одного вида (двух?))

Вопрос 2: существуют ли прямоугольные биссектральные треугольники?

(Если в общем виде задача сложна, можно рассмотреть частные случаи (например, рассматривать только равнобедренные треугольники.)

[worm2]

Поигрался в Геогебре, похоже, что:
1. У остроугольных и прямоугольных треугольников биссектральные треугольники всегда остроугольные.
2. У тупоугольных треугольников биссектральные треугольники могут быть любого вида.
3. Вообще биссектральный треугольник "ближе к равностороннему", чем порождающий его: угол напротив наибольшего всегда меньше его, а угол напротив наименьшего всегда больше его.
Но доказывать эти утверждения не хочется.

[Dendr]

Примем длину наибольшей стороны треугольника за единицу, вершина $A$ - противоположная ей (в случае нескольких наибольших традиционно берем любую).
ГМТ точек $A$ очевидно - "лепесток"-пересечение двух окружностей единичного радиуса. Теперь рассмотрим "семейства" точек $A$, расположенных на лучах, исходящих из середины наибольшей стороны. Семейство, соответствующее серединному перпендикуляру, определяет равнобедренные треугольники, окружность радиуса 0.5, проведенная из этой середины, задает положение прямоугольных треугольников, внутри окружности - тупоугольные, снаружи (но внутри лепестка) - остроугольные.

Собственно, все готово к обсуждению вопросов задачи. Теперь можно рассмотреть угол $\alpha$ биссектрального треугольника при вершине, построенной на наибольшей стороне, и определить его зависимость от полярных координат точки $A$. Попутно вылезут "изолинии" $\rho(\varphi)$, "пробегая" по которым точкой $A$, мы не изменим угол.
Ясно, что при малых $\rho$ угол почти $\pi$; возле границ лепестка плавно меняется от $\pi/3$ к большему значению (прикидки "на коленке" дают, что асимптотически стремится к $\arctg 2\approx 63.4^o$).

А теперь совсем все. В силу непрерывности $\alpha=\alpha(\rho, \varhi)$ изолиния прямоугольных биссектральных должна:
а) существовать
б) лежать где-то внутри лепестка
в) более того (после "игр" с той же джеоджеброй) - внутри окружности радиуса 0.5.

[TR63]

Итак, с помощью Геогебры, по словам worm2, имеем в классе тупоугольных треугольников биссектральные треугольники, по крайней мере, не одного вида.
Если со зрением у worm2 проблем нет, то этот факт можно стопудово зачесть.
Насчёт прямоугольных биссектральных треугольников зачёт вероятностный (не стопудовый, т.к. для стопудовости, на мой взгляд, требуется аналитическое доказательство).
Dendr, к сожалению, мне Ваше доказательство мало понятно (особенно без чертежа). Я правильно поняла, что Вы доказали существование прямоугольных биссектральных треугольников? Если доказали, то отлично.

Моё решение.

Для равнобедренных нетупоугольных треугольников задача проста и сводится к решению неравенства: при $a=b$

$\frac{4(c^2-4a^2)a^2}{c^2(a+c)^2+4a^2c^2-4ac^3}<2$

Вольфрам говорит, что неравенство верно во всей области определения, что аналитически подтверждает для равнобедренных нетупоугольных треугольников

worm2 в сообщении #1515264 писал(а):

1. У остроугольных и прямоугольных треугольников биссектральные треугольники всегда остроугольные.

Т.е. прямоугольных биссектральных там нет, т.к. все они остроугольны.
Остаётся исследовать класс равнобедренных тупоугольных треугольников на предмет наличия у них прямоугольных биссектральных треугольников, т.к., по словам worm2, тупоугольные и остроугольные биссектральные там имеются. Задача проста. Следует лишь скормить Вольфраму соответствующее неравенство.

Замечание.
Я, вообще, эту задачу решала с помощью гипотетических рассуждений. Аналитически переход от равнобедренных треугольников к произвольным с помощью решения соответствующего неравенства громоздок и даже не знаю решабельно ли само неравенство. Поэтому аналитические решения приветствуются.

[Dendr]

Вот с чертежом.


1. Поскольку все соотношения остро- и тупоугольности не меняются при преобразовании подобия, можем считать, что наибольшая сторона данного треугольника - $BC=1$. Начертим отрезок $BC$ в системе координат - из начала отсчета вдоль положительного направления оси $Ox$, без ограничения общностей можем сичтать, что треугольник расположен выше этой оси.
2. По построению, $AB\le BC, AC\le BC$. Построим дуги окружности радиуса 1 с центрами в $B, C$, пусть точка пересечения - $O$. Тогда вершина $A$ лежит внутри криволинейного треугольника $OBC$.
3. Выберем положение точки произвольным. Поскольку наибольший угол лежит против наибольшей стороны, то угол $BAC$ - и есть наибольший (один из наибольших). Дополнительно построим пунктиром полуокружность с диаметром $BC$, понятно, что если $A$ находится на ней, то треугольник прямоугольный. Если ниже - тупоугольный, выше - остроугольный.
4. Строим биссектрисы $AF, BE, CD$ и рассматриваем биссектральный треугольник $FED$. Наибольший его угол - $\angle DFE$, и величина: а) является непрерывной функцией от координат точки $A$, б) характеризует его тип.
5. Вблизи границ криволинейного треугольника $OBC$ эта функция ведет себя по-разному. Очевидно, что если $A=O$, то данный треугольник правильный, и $\angle DFE=\pi/3$. Вдоль дуг и вдоль перпендикуляра, опущенного из $O$, мы имеем равнобедренные треугольники, и угол рассчитать проще (но это я делать здесь не стану), по дуге он растет медленно, стремясь к $\arctg 2$, по перпендикуляру быстро, стремясь к развернутому углу.
Вблизи $BC$, очевидно, угол стремится к развернутому.
Очень большие особенности есть, когда $A$ близко к $B$ или $C$, и, при серьезном подходе, потребуют глубокого анализа, но там, в основном, у нас получаются тупоугольные треугольники, так что итоговых выводов это не поменяет.
6. Так же относительно просто найти зависимость при "скольжении" $A$ вдоль пунктирной полуокружности. Формула в явном виде, правда, выйдет монструозной, я ее до конца так и не довел.

7. В общем, важно то, что при движении точки $A$ от дуги к оси $Ox$ угол $DFE$ растет от 60 до 180 градусов (в геометрическом калькуляторе можно, кроме того, выяснить, что он всегда меньше $\angle BAC$), а значит, пробегает все возможные значения. Так что биссектральный треугольник может быть и остро- и прямо - и тупоугольным, причем существуют непрерывные ГМТ положений $A$, для которых угол принимает каждое данное значение. В том числе, и 90 градусов.

Остроугольные и прямоугольные треугольники порождают только остроугольные биссектральные; тупоугольные могут породить любой тип.

P.S. Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.

[TR63]

Dendr, спасибо за чертёж и пояснения.

Dendr в сообщении #1515364 писал(а):

Остроугольные и прямоугольные треугольники порождают только остроугольные биссектральные; тупоугольные могут породить любой тип.

P.S. Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.

Т.е., если я правильно поняла, Ваше утверждение на данный момент носит гипотетический характер. (Тоже неплохо.)

Интересно было бы узнать: тупоугольные треугольники равнобедренные и разносторонние могут ли порождать соответственно любой тип биссектральных теугольников. Или это возможно только для одного вида тупоугольных треугольников. (Вопрос навеян, правда, отдалённо, Шарыгинскими треугольниками.)

[wrest]

Dendr в сообщении #1515364 писал(а):

а) является непрерывной функцией от координат точки $A$,

И это дуга окружности, проходящей через $B$ и $C$, радиусом $\dfrac{BC}{\sqrt{3}}$ то есть в случае ваших обозначений, с центром $K$ с координатами $\left(\dfrac{BC}{2};-\dfrac{BC}{2\sqrt{3}}\right)$ Ну и для построения, $\angle BCK = \angle CBK = \pi/6$
Все $A$ под этой дугой будут давать тупые $\angle DFE$, все что выше дуги -- соответсвенно острые.

-- 24.04.2021, 02:50 --

TR63 в сообщении #1515452 писал(а):

Интересно было бы узнать: тупоугольные треугольники равнобедренные и разносторонние могут ли порождать соответственно любой тип биссектральных теугольников.

Да, могут.

[wrest]

Иллюстрация к предыдущему посту.

Мелкий (нижний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные биссектральные треугольники. На нем лежит вершина $A$ прямоугольных порождающих треугольников.
Крупный (верхний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные порождающие треугольники. На нем лежит вершина $A$ пораждающего (тупоугольного) треугольника, для которого биссектральный -- прямоугольный. Один из них изображен (угол $DFE$ прямой).

Между пунктирами зона, где порождающий треугольник тупоугольный, а биссектральный -- остроугольный.

[TR63]

wrest, пытаюсь разобрать пояснения, сделанные Вами к своему чертежу.

wrest в сообщении #1515476 писал(а):

Мелкий (нижний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные биссектральные треугольники.

Допустим, что это верно.

wrest в сообщении #1515476 писал(а):

На нем лежит вершина $A$ прямоугольных порождающих треугольников.

Наверное, Вы подразумевали, что на этом пунктире лежат вершины тупоугольных треугольников, порождающих прямоугольные биссектральные треугольники?

wrest в сообщении #1515476 писал(а):

Крупный (верхний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные порождающие треугольники.

Это понятно.

wrest в сообщении #1515476 писал(а):

На нем лежит вершина $A$ порождающего (тупоугольного) треугольника

Вы хотели сказать прямоугольного? (На крупном пунктире не может быть вершин тупоугольных треугольников.)

Дальше непонятно.
Далее

wrest в сообщении #1515476 писал(а):

Между пунктирами зона, где порождающий треугольник тупоугольный, а биссектральный -- остроугольный.

Возможно, что это верно. Аналитическое доказательство у Вас имеется? Далее, Вы рассмотрели случай разностороннего тупоугольного порождающего треугольника. Осталось рассмотреть случай равнобедренного тупоугольного порождающего треугольника (желательно аналитически).

[wrest]

TR63 в сообщении #1515528 писал(а):

Наверное, Вы подразумевали, что на этом пунктире лежат вершины тупоугольных треугольников, порождающих прямоугольные биссектральные треугольники?

Да, на мелком пунктире порождающие трегольники тупоугольные, а биссектральные - прямоугольные.

-- 24.04.2021, 16:55 --

TR63 в сообщении #1515528 писал(а):

Далее, Вы рассмотрели случай разностороннего тупоугольного порождающего треугольника. Осталось рассмотреть случай равнобедренного тупоугольного порождающего треугольника (желательно аналитически).

Вершины $A$ равнобедренных порождающих треугольников лежат на прямой $x=\dfrac{BC}{2}=0,5$ (т.е. на серединном перпендикуляре к $BC$).
Там по картинке вроде все просто. Тупой угол от 90 до 120 градусов порождающего равнобедренного треугольника, порождает остроугольный биссектральный треугольник, больше 120 градусов - тупоугольный.

[TR63]

Пока что обсуждение на уровне гипотез.
Хорошо.
Рассмотрим следствие из полученных гипотез.

Пусть $\{M_1M_2M_4\}$ вершины правильного восьмиугольника. $\angle M_1M_2M_4=112.5^\circ$. Это означает, что его биссектральный $\{M_1'M_2'M_4'\}$ не является равнобедренным (следует из теории Шарыгинских треугольников).
Рассмотрим$\{M_1'M_2'M_4'\}$ как порождающий. Его биссектральный может быть равнобедренным? Если произошло увеличение порождающего угла, то не может.

Вопрос: верно ли, что последовательность вложенных биссектральных углов является монотонной по отношению к изменению величины биссектрального угла. Если "да", то возрастает или убывает?

Интересует также величина угла $\{M_1'M_2'M_4'\}$.
С помощью чертежа на глаз определить трудно. Может поможет Геогебра дать примерное значение? Конечно, можно рассчитать аналитически, но очень громоздко, и можно ошибиться с арифметикой.

[wrest]

TR63 в сообщении #1515595 писал(а):

Интересует также величина угла $\{M_1'M_2'M_4'\}$.
С помощью чертежа на глаз определить трудно. Может поможет Геогебра дать примерное значение?

$83,855737^\circ$ а следующий за ним (т.е. порожденный им) равен $67,804576^\circ$




-- 25.04.2021, 13:27 --

TR63 в сообщении #1515595 писал(а):

Вопрос: верно ли, что последовательность вложенных биссектральных углов является монотонной по отношению к изменению величины биссектрального угла. Если "да", то возрастает или убывает?

Не понял что значит "монотонной по отношению к", но монотонно стремится к $\pi/3$
Биссектральный угол меньше порождающего. Но не меньше $\pi/3$, мы же говорим о наибольшем угле?

[TR63]

wrest, спасибо за чертёж (всё отлично видно).

wrest в сообщении #1515610 писал(а):

Не понял что значит "монотонной по отношению к", но монотонно стремится к $\pi/3$

Это можно удалить и оставить вопрос в виде:

TR63 в сообщении #1515595 писал(а):

Вопрос: верно ли, что последовательность значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников является монотонной. Если "да", то возрастает или убывает?

wrest в сообщении #1515610 писал(а):

мы же говорим о наибольшем угле?

да.

Далее я хочу экстраполировать нечто с помощью гипотетических рассуждений на все правильные многоугольники при $n>8$. И известно, что некоторые свойства подтверждаются экспериментально при $8<n\le2000$ (т.е. гипотеза, которой я пользуюсь правдоподобна; кстати из неё получается, что при $n=7$ исходный порождающий треугольник является Шарыгинским; также получается свойство монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$, но это свойство надо проверить хотя бы экспериментально).

[wrest]

TR63
Ну смотрите. Для любого порождающего треугольника, имеющего угол равный 120 градусов, порождаемый биссектральный треугольник будет прямоугольным. [Наибольший] угол биссектрального треугольника не больше [наибольшего] угла порождающего (равнество имеет место в одном случае -- равностороннего порождающего треугольника).

Отсюда, мне кажется, следует всё, что вам надо? Биекции между углом порождающего и биссектрального треугольника нет. Одному и тому же углу порождающего треугольника соотвествует диапазон углов биссектрального треугольника. Исключение - прямоугольный биссектральный треугольник. Его порождает только треугольник с углом 120 градусов (как равнобедренный так и разносторонний) и никакой другой.

Что вы хотите экстраполировать не вполне ясно. Сформулируйте вопрос.

[TR63]

wrest в сообщении #1515655 писал(а):

[Наибольший] угол биссектрального треугольника не больше [наибольшего] угла порождающего (равнество имеет место в одном случае -- равностороннего порождающего треугольника).

Отсюда, мне кажется, следует всё, что вам надо?

TR63 в сообщении #1515645 писал(а):

получается свойство монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$

Но

Dendr в сообщении #1515364 писал(а):

Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.

Т.е. пока не предъявлено доказательство, что $\angle DFE\le\angle BAC$, утверждение о монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$ является гипотезой.
Я прошу проверить её экспериментально или привести доказательство факта о том, что $\angle DFE\le\angle BAC$ в утверждении Dendr.
wrest, Вы уже начали фактически проверку при $n=8$ и получили начало последовательности ${83,85; 63,13;...}$. Теперь следует её продолжить в поисках нарушения свойства монотонного убывания. Далее делаем это же для $n=9$ и т.д..