Решите систему линейных уравнений с параметром

[Jfresearch]

Здравствуйте, имеется система:

$\begin{cases} ax + by + z = 1, \\ x + aby + z = b, \\ x + by + az = 1. \end{cases}$

Решала с помощью теоремы Кронекера-Капелли и начала перебирать значения параметров. Но не знаю, как дальше решать. Например, первый случай:

$b\neq 0, a\neq 1, a^2+a-2 \neq 0 \\ \left( \begin{array}{rrrr} a & b & 1 & 1 \\ 1 & ab & 1 & b \\ 1 & b & a & 1 \\ \end{array} \right)$, ранги совпадают(3), одно решение

Подскажите, пожалуйста, как такое решать.

[Lia]

Сложите, посмотрите, что еще можно выцепить.

[StepV]

Jfresearch в сообщении #1515079 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как такое решать.

Например. Умножьте вторую и третью строку на $a$, а затем вычтите из них первую строку. Первый столбец будет состоять из $a$ и нулей. Рассмотрите получившуюся матрицу и попробуйте найти для оставшихся строк подобное преобразование.

[nnosipov]

Jfresearch в сообщении #1515079 писал(а):

Решала с помощью теоремы Кронекера-Капелли

Здесь были бы удобнее формулы Крамера (если, конечно, теория определителей уже изучена).

Очень похоже на одну из задач на эту тему из задачника Фадеева и Соминского.

Upd. Да, так и есть: 447, п. c) по изданию 1977 года.

[svv]

Jfresearch в сообщении #1515079 писал(а):

начала перебирать значения параметров

Найдите определитель системы. При каких значениях параметров $a,b$ он обращается в нуль? Заметьте, что система всегда неоднородна, поэтому при нулевом определителе решений нет.

Остаётся спокойно решить систему в случае ненулевого определителя, т.е. обратимой матрицы системы.

[nnosipov]

svv в сообщении #1515128 писал(а):

Заметьте, что система всегда неоднородна, поэтому при нулевом определителе решений нет.

При нулевом определителе может быть все что угодно, кроме однозначной разрешимости системы (требуется дополнительное исследование).

[svv]

Да, ошибся.

[Евгений Машеров]

Что-то мне захотелось заменить $u=by$, какая-то приятная симметричность прорезывается. Правда, тогда случай b=0 надо особо рассматривать. Но там легко показать, что при b=0 решений нет.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1515138 писал(а):

Правда, тогда случай b=0 надо особо рассматривать.

Его в любом случае придется рассматривать, ибо при $b=0$ определитель системы обращается в ноль.

В общем, это абсолютно типовое задание, но из-за обилия параметров у студентов возникают проблемы с записью ответа.

[Евгений Машеров]

Ну вот исключив b=0 и заменив, получаем нечто, что хочется решать методом квадратного корня...

[Евгений Машеров]

Или ещё - сделав такую замену, воспользоваться для обращения формулой https://en.wikipedia.org/wiki/Sherman%E ... on_formula