Противоречие=ложь?

[Sicker]

Всегда ли формально противоречивое утверждение можно считать ложью, из которой следует все что-угодно? Приведу пример, когда это не совсем состоятельно.
Пусть мы из плоскости вырезали некоторую область. Соответственно в этой области существуют точки, все области точек нет, пусть будет такое многообразие с краем. Рассмотрим какую-то геометрическую задачу, и пусть она на полноценной плоскости решалась бы дополнительным построением, которое выходит за рамки нашей вырезанной области. Если мы сделаем такое построение в нашем многообразии с краем, то оно будет противоречиво, т.к. многообразия не существует за краем, и проводить туда что-нибудь является бессмысленным. Но при этом мы верно решим задачу, если скажем, что "пусть бы там было пространство". Т.е. в данном случае противоречивое (а значит ложное) утверждение о существовании точек (и построения) за краем многообразия позволяет дать нетривиальные верные результаты. Что тут говорит матлогика?

[Mihaylo]

Математика способна работать с любыми объектами, например, с корнем из минус единицы, ей физические ограничения ни по чем. Отсюда следует, что вы хоть какие накладывайте физические ограничения, мысленные и абстрактные модели это не мешает создавать.

И тут нет выхода для альтов и фриков (я чувствую вы о них заботитесь), так как у них проблема организационного плана (как сделать, чтобы теорию признала реальная наука), а их якобы способность выходить за пределы понимания - это пустышка, самозаблуждение адептов. Альты и фрики - это всего лишь хорошо объяснимые объекты социально-психологического исследования.

Что касается вопроса "противоречие=ложь?", то этот вопрос к экспертам научного сообщества. Они могу принять, а могут не принять, исходя из научных воззрений. Все фрики и альты отвергнуты, и причины понятны, так как это не ученые, а личности с особой психикой.

[Mihr]

Sicker в сообщении #1514673 писал(а):

Что тут говорит матлогика?

Ничего. Ваши умопостроения, по-моему, находятся за пределами предмета матлогики.
Всё же сделаю два замечания.
1. Если геометрическая задача решается при помощи дополнительного построения, это не означает, что она решается только так и никак иначе. Дополнительные построения зачастую облегчают решение геометрических задач, то есть, создают технические удобства, но не более того. На разрешимость самой задачи они не влияют.
2. "Истина" и "ложь" - не математические понятия. И если на стадии изучения "букваря" матлогики их используют, то вскоре всё-таки решительно изгоняют. "Противоречие" - это термин, который для математики куда точнее и удобнее, чем эфемерное понятие "ложь". Так что вопрос, отождествлять ли "противоречие" с "ложью", для математика, как мне кажется, должен быть лишён смысла.

[epros]

Утверждение может быть противоречивым только совместно с остальной аксиоматикой теории. В таком случае можно доработать остальную аксиоматику, и утверждение перестанет быть противоречивым. Философы, которые не знают математики, называют такой метод "диалектическая триада" (тезис - антитезис - синтез). Например, в теории действительных чисел утверждение о существовании корня из минус единицы является противоречивым. Но, доработав аксиоматику до теории комплексных чисел, мы добьёмся того, что это утверждение перестанет быть противоречивым.

[Vladimir-80]

Sicker в сообщении #1514673 писал(а):

Рассмотрим какую-то геометрическую задачу, и пусть она на полноценной плоскости решалась бы дополнительным построением, которое выходит за рамки нашей вырезанной области.

Это очень практическая задача. Бывало, я в школе на такую проблему напарывался, неправильно оценив масштабы. Решение есть. Нарисуйте подобный треугольник, окружность и прочее чуток поменьше - чтобы всё важное поместилось на тетрадный лист.

[fosnie]

Противоречие подразумевает наличие нескольких несовместимых утверждений, при этом неважно, известно ли какое конкретно из этих утверждений ложное и вообще, есть ли оно среди них, достаточно того, что утверждения несовместимы, т.е. противоречивы. Противоречие можно записать в алгебраической форме и в зависимости от подставляемых значений получать ложным любое из утверждений. Противоречие часто включает ложь, но вовсе не обязательно, например так было создано крыло переменной стреловидности: Крыло с малой стреловидностью имеет большую подъемную силу, но непригодно при сверхзвуковых скоростях из-за большого лобового сопротивления, напротив, крыло с большой стреловидностью имеет малое сопротивление и идеально на сверхзвуке, но не позволяет взлететь самолету из-за малой подъемной силы. Решение этого технического противоречия- крыло переменной стреловидности. Ложь подразумевает, что какое-то конкретное утверждение ложно. Ложь и истина используются в действующих научных моделях и технике, в которых могут возникать и противоречия. Преодоление противоречий ведет к развитию науки и техники.

[Mihr]

fosnie, ну, очевидно ведь, что речь в данной теме совершенно о другом. Не о технических "противоречиях", и не об их преодолении.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1514673 писал(а):

Всегда ли формально противоречивое утверждение можно считать ложью, из которой следует все что-угодно?

Тут ответ самый простой. Если в интересующей нас логике выводится (или есть как аксиома) ex falso quodlibet, $\bot \to A$, то следует всё что угодно, а если не выводится, то следует не всё что угодно.

Такая аксиома есть например в интуиционистской логике, если её формулировать без примитивного $\neg$, определяя $\neg X$ как $X \to \bot$ (лично на мой взгляд, это удобнее всего — все свойства отрицания следуют автоматически из свойств импликации и единственной поминающей $\bot$ аксиомы ex falso). Если в логике нет специальной константы $\bot$, то будет иметься в виду что-нибудь другое, лишь бы мы знали, какой класс формул мы заведомо считаем тождественно ложными. Например в языке арифметики $n = Sn$ это явное противоречие, так же как $n = SSn, n = SSSn, \ldots$

P. S. Это я про то, что у вас на руках среди теорем может быть что-то воистину ложное, но всё равно не обязательно теория взорвётся. Я только щас вспомнил, что минимальную и субминимальные логики я вам уже упоминал, и ex falso мы вроде тоже как-то уже («)обсуждали(»).

Sicker в сообщении #1514673 писал(а):

Если мы сделаем такое построение в нашем многообразии с краем, то оно будет противоречиво, т.к. многообразия не существует за краем, и проводить туда что-нибудь является бессмысленным. Но при этом мы верно решим задачу, если скажем, что "пусть бы там было пространство". Т.е. в данном случае противоречивое (а значит ложное) утверждение о существовании точек (и построения) за краем многообразия позволяет дать нетривиальные верные результаты. Что тут говорит матлогика?

Ну во-первых ваш пример плохой. Элементарные геометрические построения могут пригодиться разные, чтобы построить одни и те же точки. Может статься, что любые точки области можно построить, не выходя за эту область, если только она открытая, а не замкнутая. (А, уже Mihr написал.)

А чтобы это как-то одеть как вопрос про матлогику, представьте сначала аксиоматизацию такой геометрии, убедитесь что она верна и после приходите, поговорим. Не обязательно конкретную аксиоматизацию, можете попробовать охарактеризовать возможные аксиоматизации, охарактеризовать множество истинных утверждений и т. п.. Но по крайней мере какой-то язык вам придётся сконструировать. Язык не обязательно первого порядка (не в том смысле, что кто-то обрадуется языку второго порядка, просто есть совсем другие, хотя вряд ли вам они помогут, но я уж лучше заранее скажу). Лишь бы все возможности для рукомахания исчезли и лишь бы отвечающим не пришлось формализовать всё за вас.

-- Сб апр 17, 2021 15:57:18 --

Вообще вы могли бы обратиться к ультрафинитистским текстам, где каким-то образом описывается ограниченное сверху множество натуральных чисел. Вот там бы и посмотрели, как (я не читал) обходят проблему конструкций, временно выводящих за ту границу (которая притом, как понимаю, не должна быть никак выразима изнутри в самом языке — в вашем случае вроде её можно как-то нащупать, если только вы не собрались аксиоматизировать много разных областей плоскости за раз, а не какую-то одну).

[fosnie]

Mihr в сообщении #1514721 писал(а):

ну, очевидно ведь, что речь в данной теме совершенно о другом. Не о технических "противоречиях", и не об их преодолении.

Механизм один и тот же, что в технике, что в чистой математике, вместо примера со стреловидностью крыла можно было привести пример разрешения парадоксов теории множеств в рамках различных формализаций. Т.е. противоречие свидетельствует о несовершенстве теории (техники), а ложь- о неверности утверждения в рамках какой-то теории. Это как раз к ответу на стартовый вопрос:

Sicker в сообщении #1514673 писал(а):

Всегда ли формально противоречивое утверждение можно считать ложью, из которой следует все что-угодно?

противоречие и ложь- это несколько различные категории. Противоречие может не включать в себя ложь. Как например, в парадоксе брадобрея. Там 2 альтернативных ответа и нельзя назвать их оба одновременно ложными, также как нельзя назвать оба одновременно истинными. И нет никаких оснований считать один из ответов истинным, а другой ложным. Таким образом из этого противоречия(парадокса) нельзя вывести вообще ничего, а из лжи можно вывести все, что угодно. Противоречия- это тупики, преодоление которых и есть задача науки, а ложь- это отрицание истины. Сама истина и ложь в науке не абсолютны, а действуют лишь в определенных рамках. Если мы примем, что брадобрей должен брить себя сам- истина, то брадобрей не должен себя брить - будет ложь. Но с помощью самого парадокса мы опровергаем, что ложь- это ложь, а истина- это истина. И в этом парадоксе заключается противоречие и тупик, который разрешается в M-формализации теории множеств. Из самого противоречия нельзя всегда вывести все что угодно, как из лжи.

[epros]

fosnie в сообщении #1514755 писал(а):

Как например, в парадоксе брадобрея. Там 2 альтернативных ответа и нельзя назвать их оба одновременно ложными, также как нельзя назвать оба одновременно истинными.

Вообще-то в парадоксе брадобрея ложным является утверждение о существовании такого брадобрея. Как раз потому, что из этого утверждения следует противоречие.

[fosnie]

epros
Здесь тогда возникает другой парадокс: мы реально можем дать задание брадобрею брить всех, кто не бреет себя сам и такой зависший над решением парадокса брадобрей будет существовать в реальности. Но формально его не может существовать. Тогда математическая модель не соответствует действительности.

[Mihr]

fosnie в сообщении #1514761 писал(а):

мы реально можем дать задание брадобрею брить всех, кто не бреет себя сам и такой зависший над решением парадокса брадобрей будет существовать в реальности

Это другая формулировка "парадокса". И в такой формулировке вывод не в том, что брадобрея не существует, а всего лишь в том, что брадобрей получил внутренне противоречивое задание.

[fosnie]

Задание вовсе не противоречивое: Брадобрей побрил всех кроме себя, затем мозг и сознание брадобрея трансплантируется в тело одного из побритых, а мозг и сознание побритого в тело брадобрея. Затем брадобрей, находясь в чужом теле, бреет свое тело. Он вроде и бреет себя, а вроде и не бреет себя, все в полном соответствии с заданием.

[Mihr]

fosnie в сообщении #1514780 писал(а):

затем мозг и сознание брадобрея трансплантируется в тело одного из побритых

Ну, это уже Ваша интерпретация происходящего. В обычной формулировке "парадокса" ничего подобного нет. Если не играть в слова, то очевидно, что выданное брадобрею задание противоречиво.

[fosnie]

Mihr в сообщении #1514783 писал(а):

Ну, это уже Ваша интерпретация происходящего.

Это не интерпретация, а способ разрешения парадокса в обычной его формулировке, где брадобрей должен себя и брить, и одновременно не брить.
То, что казалось противоречивым во времена Рассела может оказаться вполне разрешимым с развитием медицины)