Точки на единичном кубе

[VoprosT]

Дан единичный куб, рёбра которого параллельны осям координат. На его поверхности выбраны $6$ точек $(x_i, y_i, z_i)$, $i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

$m_x$ есть $\min\limits_{i,j}\left\lvert x_i - x_j \right\rvert$, где $i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
Аналогично определяются $m_y$ и $m_z$

Требуется найти максимальное значение $m_x + m_y + m_z$

Я попытался уменьшить размерность задачи, рассмотреть квадрат на плоскости с 4 точками вместо 6. Ощущение, что для лучшего случая одно из слагаемых будет равно нулю.

[svv]

VoprosT в сообщении #1514486 писал(а):

$m_x$ есть $\min\limits_{i,j}\left\lvert x_i - x_j \right\rvert$, где $i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

Надо добавить условие $i\neq j$, а то всегда ноль будет.

Каково максимальное значение $m_x$ ?

[VoprosT]

svv в сообщении #1514489 писал(а):

Каково максимальное значение $m_x$ ?

$1$

[svv]

Нет, это Вы ответили на более простой вопрос: каково максимальное значение $|x_i-x_j|$.

У Вас шесть точек. Не обращайте пока внимания на их координаты $y_i$ и $z_i$.
Допустим, координаты $x_i$ равны $({\color{magenta}0.8};0.05;{\color{magenta}0.7};0.35;0.2;1.0)$. Самая маленькая (по модулю) разность двух разных элементов этого списка равна $0.1$. Можно сказать, $x_1=0.8$ и $x_3=0.7$ самые близкие друг к другу элементы.
Насколько большой можно сделать эту минимальную разность при произвольном расположении шести точек на отрезке $[0;1]$? Какими при этом будут $x_i$, если их отсортировать по возрастанию?

[VoprosT]

Максимальное значение $m_x = \frac{1}{5}$?
А $x_i$ буду выглядеть так: $0,\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 1$

[svv]

Да, верно нашли максимальное $m_x$.
Да, такими будут координаты точек, если их расположить по возрастанию.

Возвращаемся к шести точкам на поверхности куба. Понятно, что максимально возможные $m_y$ и $m_z$ находятся аналогично и также равны $\frac 1 5$.
Стало быть, $m_x+m_y+m_z$ не превышает... чего?

Второй вопрос: возможно ли расположение точек, когда максимальные значения $m_x=m_y=m_z=\frac 1 5$ достигаются одновременно?

[VoprosT]

svv в сообщении #1514501 писал(а):

Стало быть, $m_x+m_y+m_z$ не превышает... чего?

Не превышает $\frac{3}{5}$

svv в сообщении #1514501 писал(а):

Второй вопрос: возможно ли расположение точек, когда максимальные значения $m_x=m_y=m_z=\frac 1 5$ достигаются одновременно?

Да, например, точки $(0, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}), (1, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}), (\frac{1}{5}, 0, \frac{3}{5}), (\frac{2}{5}, 1, \frac{4}{5}), (\frac{3}{5}, \frac{3}{5}, 0), (\frac{4}{5}, \frac{4}{5}, 1)$

[svv]

Ну, вот. Всё правильно.

[geomath]

Пусть куб у нас целочисленный с ребром от 0 до 10. За один шаг будем выбирать все 6 точек (по одной на каждой грани, допуская совпадения) просто случайным образом. Какова вероятность, что мы найдем искомый максимум не более чем за один миллион шагов?

-- Сб апр 17, 2021 09:52:22 --

Я вот попробовал... Одного миллиона мало, даже 10 миллионов мало. За 100 миллионов шагов, да, получается.

[svv]

geomath
Удивительно, не думал, что такая маленькая вероятность.
Приходят разные мысли по этому поводу. Как человеческий интеллект находит решение?
Если бы где-то платили за решение таких задач, оплата должна быть обратно пропорциональна вероятности случайно найти решение с одной попытки.

[geomath]

svv
"По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки,
в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей."
http://www.vixri.com/d/Sekej%20G.%20_Paradoksy%20v%20teorii%20verojatnostej_.pdf

[mihaild]

geomath в сообщении #1514685 писал(а):

Какова вероятность, что мы найдем искомый максимум не более чем за один миллион шагов?

Оси независимы. Для каждой оси нас устраивают любые точки на гранях по краям и $24$ разных расположения из $10^4$ возможных на четырех других. Вероятность, что всё сойдется по трем осям, равна $\frac{24^3}{10^12} \approx 10^{-8}$.

svv в сообщении #1514726 писал(а):

Приходят разные мысли по этому поводу. Как человеческий интеллект находит решение?

Не случайным перебором. Не вижу в этом ничего удивительного, случайно сложить правильно два 10-значных числа еще менее вероятно, но никакой трудности не представляет.