Две случайные величины с одинаковым мат. ожиданием

[EUgeneUS]

Задача появилась из "боковой ветви" темы про морской бой.

$a$ и $b$ - случайные величины с одинаковым (для простоты - ограниченным) носителем.
Непрерывные или дискретные - на выбор решающего.
Известно, что $E[a] = E[b]$

а) доказать, что $P(a>b)=P(b>a)$, или привести контрпример.
б) одна из случайных величин имеет равномерное распределение. Доказать, что $P(a>b)=P(b>a)$, или привести контрпример.

(Оффтоп)

Задача весьма проста, и скорее учебная, чем олимпиадная.
Но в ППР(М) не стал публиковать, потому что мне помощь не нужна. Решение и ответ я знаю.

[tonven]

пункт а.
$p(a=0)=0.5$, $p(a=1)=0.5$
$p(b=0)=0.95$, $p(b=10)=0.05$
$E(a)=E(b)=0.5\cdot1=0.05\cdot10=0.5$
$P(a>b)=0.5\cdot0.95=0.475$, $P(b>a)=1\cdot0.05=0.05$

[EUgeneUS]

tonven
Конечно.
Видно, что равенство матожиданий вовсе не гарантирует равенства вероятностей выигрыша в игре больше-меньше.
У меня был контрпример с одним бимодальным распределением.
В вашем контрпримере видно, что бимодальность вовсе не требуется.

Остался пункт б)

[alisa-lebovski]

EUgeneUS в сообщении #1513399 писал(а):

Остался пункт б)

Если $a$ равномерная на $[0,1]$, то подходит $b$ из предыдущего примера, поскольку $P(a>b)=0.95$.

(Оффтоп)

С этими отношениями связана интересная тема - нетранзитивные кости (есть даже в Википедии).

[mihaild]

А почему это вообще могло бы показаться правдой? Мат. ожидание можно загнать куда угодно манипулируя только очень далекими хвостами, а вот вероятность от этого сильно не поменяется.

[tonven]

$p(a)=c, E(a)=\int\limits_{0}^{d}cdx=c\cdot d$
$p(b)=2x, E(b)=\int\limits_{0}^{d}2xdx=d^2$
$d=\sqrt{c\cdot d}$
Равенство $P(a>b)=P(b>a)$ достигается только при $c=d/4$. В других случаях прямые $y=c$ и $y=2x$ пересекаются раньше или позже $d/2$.

Цитата:

Мат. ожидание можно загнать куда угодно манипулируя только очень далекими хвостами

Правило рычага: кладём грамм, а поднимает тонну.

[EUgeneUS]

alisa-lebovski в сообщении #1513413 писал(а):

С этими отношениями связана интересная тема - нетранзитивные кости (есть даже в Википедии).

Да, это почти тоже самое.

alisa-lebovski в сообщении #1513413 писал(а):

Если $a$ равномерная на $[0,1]$, то подходит $b$ из предыдущего примера, поскольку $P(a>b)=0.95$.

Не подходит. Носитель $b$ не помещается в $[0,1]$

mihaild в сообщении #1513416 писал(а):

А почему это вообще могло бы показаться правдой?

Не знаю.

-- 08.04.2021, 13:27 --

tonven в сообщении #1513418 писал(а):

$p(a)=c, E(a)=\int\limits_{0}^{d}cdx=c\cdot d$

Вы забываете про нормировку. Из которой сразу $c = 1/d$
UPD: и матожидание у Вас неверно посчитано.

tonven в сообщении #1513418 писал(а):

$p(b)=2x, E(b)=\int\limits_{0}^{d}2xdx=d^2$

А это вообще не всегда является плотностью вероятности.

Для носителя $[0.1]$ мне удалось доказать верность утверждения в б)

[ShMaxG]

tonven в сообщении #1513395 писал(а):

пункт а.
$p(a=0)=0.5$, $p(a=1)=0.5$
$p(b=0)=0.95$, $p(b=10)=0.05$
$E(a)=E(b)=0.5\cdot1=0.05\cdot10=0.5$
$P(a>b)=0.5\cdot0.95=0.475$, $P(b>a)=1\cdot0.05=0.05$

А разве у этих случайных величин одинаковый носитель?

[EUgeneUS]

ShMaxG в сообщении #1513424 писал(а):

А разве у этих случайных величин одинаковый носитель?

Тут одинаковым носителем можно считать $\left\lbrace0,1,10\right\rbrace$. А там, где сейчас "лежит ноль" "положить" очень маленькую ненулевую вероятность.
Выкладки станут более громоздкими, а результат будет таким же.

[tonven]

EUgeneUS в сообщении #1513422 писал(а):

Вы забываете про нормировку.

Точно. Единица вовеки веков.
А при $c=2$ прямые пересекаются как раз в $1$.
Про доказательство надо подумать.

[alisa-lebovski]

Да, условия одинаковости носителей я проглядела, и tonven тоже.

Если $a$ равномерное на $[0,1]$, никак не получается. Обозначим ф.р. $b$ через $F$. Тогда

$$P(a<b)=\int_0^1P(a<x)\,dF(x)=\int_0^1x\,dF(x)=E[b]=1/2.$$

[EUgeneUS]

alisa-lebovski
Да, конечно.
Для дискретных случайных величин с носителем из ограниченного множества последовательных натуральных чисел, получается всё тоже самое.

А вот для носителей в виде объединения несвязных множеств, вроде бы получаются чудеса (детально не проверял).

[ShMaxG]

alisa-lebovski
Вы видимо предположили, что эти случайные величины независимы, но в условии про это ни слова.

[EUgeneUS]

ShMaxG в сообщении #1513434 писал(а):

Вы видимо предположили, что эти случайные величины независимы, но в условии про это ни слова.

Тут моя неаккуратность. Конечно, такое условие должно быть добавлено.

[alisa-lebovski]

EUgeneUS в сообщении #1513433 писал(а):

А вот для носителей в виде несвязных множеств, вроде бы получаются чудеса (детально не проверял).

Тогда Вы непонятно сформулировали условие, поскольку равномерное распределение подразумевается на отрезке.