Многочлены Шура

[Polarny]

Требуется доказать следующее рекуррентное соотношение
$S_\lambda(x_1,...,x_n)=\sum\limits_{\mu}^{}S_\mu(x_1,...,x_{n-1})x_n^{\left\lvert \lambda\left\lvert -\right\rvert\mu\right\rvert}$

$S_\lambda(x_1,...,x_n)=\frac{\det(x_i^{\lambda_i+n-j})}{\det(x_i^{n-j})}$
Дальше беру числитель

$$\begin{pmatrix} x_1^{\lambda_1+n-1} ...& &x_n^{\lambda_1+n-1} \\ & & \\ x_1^{\lambda_n} & ...&x_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}$$

Раскрываю определитель по последнему столбцу и получаю

$$\sum\limits_{\mu}^{}\det(x_i^{\mu_j+n-1-j})x_n^{n-1}x_n^{\left\lvert \lambda\left\lvert -\right\rvert\mu\right\rvert}$$

В знаменателе определитель Вандермонда

$$\prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{}(x_i-x_j)=\prod\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}^{}(x_i-x_n)\prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n-1}^{}(x_i-x_j)$$

Второе произведение справа есть определитель Вандермонда от $x_1,...,x_{n-1}$. Ставлю его под каждое слагаемое числителя и получаю почти то, что нужно.
Но что делать с $\prod\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}^{}(x_i-x_n)$? Его в исходном соотношении нет, так куда его деть?
Или как-то по-другому надо доказывать?

[Polarny]

Я уже начал сомневаться в истинности начальной формулы, ибо не могу понять как можно избавиться от этих множителей в знаменателе. Попробовал разложить по строке, получилось подобное рекуррентное соотношение, но с участием всех $x_i$. Может кто что подсказать?