Теорема о точках плотности

[Padawan]

Ниже представлено простое (по модулю теоремы Витали о покрытиях) доказательство теоремы о точках плотности измеримого множества.
Теорема. Пусть $A\subset\mathbb R^n$ -- измеримое по Лебегу множество. Тогда почти все точки множества $A$ являются его точками плотности, т.е. для почти всех точек $x\in A$ выполнено

$$ \lim\limits_{r\to 0}\frac{\mu (A\cap \overline B(x,r))}{\mu\overline B(x,r)}=1, $$

где $\overline B(x,r)$ -- замкнутый шар радиуса $r$ с центром в точке $x$.

Доказательство. Пусть

$$ \underline d(x)=\varliminf\limits_{r\to 0}\frac{\mu (A\cap \overline B(x,r))}{\mu\overline B(x,r)} $$

-- нижняя плотность множества $A$ в точке $x$. Понятно, что $0\leqslant \underline d(x)\leqslant 1$ для всех $x\in A$. Покажем, что для любого $0\leqslant\alpha<1$ мера множества $E_\alpha=\{x\in A\mid \underline d(x)<\alpha\}$ равна нулю. Отсюда будет следовать, что $\underline d(x)=1$ для почти всех $x\in A$, а значит, $x$ является точкой плотности множества $A$.
Заметим, что функция $\underline d(x)$ измерима, так как

$$ \underline d(x)=\lim\limits_{k\to\infty}\inf\limits_{0<r<1/k, r\in\mathbb Q} \frac{\mu (A\cap \overline B(x,r))}{\mu\overline B(x,r)}, $$

а $\frac{\mu (A\cap \overline B(x,r))}{\mu\overline B(x,r)}$ при фиксированном $r$ явлется непрерывной функцией от $x$ во всём пространстве.
Возьмём любое $\varepsilon>0$. Существует открытое множество $G\subset\mathbb R^n$ такое, что $E_\alpha\subset G$ и $\mu G<\mu E_\alpha+\varepsilon$. По определению $\underline d(x)$ и $E_\alpha$ для любого $x\in E_\alpha$ существует шар $\overline B(x,r)$ сколь угодно малого радиуса и такой, что $\frac{\mu (A\cap \overline B(x,r))}{\mu\overline B(x,r)}<\alpha$, при этом можно считать, что $\overline B(x,r)\subset G$. По теореме Витали о покрытии, существует последовательность попарно непересекающихся шаров $\{\overline B(x_i,r_i)\}$ указанного вида такая, что $\mu (E_\alpha\setminus S)=0$, где $S=\bigcup\limits_{i=1}^\infty \overline B(x_i,r_i)$. Тогда

$$ \mu E_\alpha=\mu (E_\alpha\cap S)\leqslant \mu (A\cap S)\leqslant \alpha\mu S\leqslant \alpha\mu G\leqslant\alpha(\mu E_\alpha+\varepsilon), $$

откуда $\mu E_\alpha\leqslant\frac{\alpha}{1-\alpha}\varepsilon$. Так как $\varepsilon>0$ произвольно, то $\mu E_\alpha=0$. Теорема доказана. $\square$

[g______d]

Забавный факт (случайно узнал). Если под $\mu$ подразумевать внешнюю меру Лебега, то факт верен без предположения об измеримости $A$. А факт о том, что почти все точки дополнения к $A$ имеют плотность ноль, равносилен измеримости $A$.

Меру Лебега можно заменить на любую (внешнюю) меру Радона, с соответствующей модификацией условия измеримости.

Доказательство короткое, есть здесь:

https://projecteuclid.org/journals/proc ... 79021.full

[Padawan]

Ага, в Саксе Теория интеграла видел это утверждение (стр.196). Меня больше удивило, что верно $|A\cap I_k|/|I_k|\to 1$ для любой последовательности сегментов, стягивающихся к точке $a\in A$ (т.е. $a\in A$ и диаметры сегментов стремятся к нулю), без предположения регулярности (т.е. ограниченности отношения $(\operatorname{diam} I_k)^n/|I_k|$).