стереометрия

[Rony]

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 4 и остальными рёбрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найти максимальное значение радиуса шара.
Как решать, подскажите, пожалуйста?

[Someone]

Как-нибудь с объёмом параллелепипеда это связать нельзя?

[Алексей К.]

Я пойду сейчас спатки, но вместо засыпательной книжки возьму ручку с бумажкой. Поначалу спроектирую всё это на основание параллелепипеда (под углом, так, чтобы сферка вписалась окружностью в параллелограмм-основание. Подумаю: ромб --- это единственный параллелограмм, в который вписывается окружность? (Сейчас, за клавой, кажется --- а то как же!? но я так часто ошибался по жизни, что надо лёжа проверить...) А у ромба вроде как все 4 стороны равны, а такой же ромбик у нас наверху параллелепипеда, и их, равных рёбер, всего 8, значит, они длины 3, а длины 4 --- это типа те, которые верх с низом соединяют... Их четыре штуки.
Короче, пошёл с этим в койку, может, Вам не спится и это сгодится. Bonne nuit.

[Малкин Станислав]

Ну вообще я думаю, что надо плясать от того, что два основания параллелепипеда - ромбы и это очевидно, а остальные грани - параллелограмы.

Дальше у меня есть две гипотезы:

1) Радиус сферы, как мне кажется, будет зависеть только от угла наклона ребер, что соединяют основания. Больше ему не от чего зависеть, так, как мы знаем размеры всех ребер по условию задачи.

2) Шар, будет соприкасаться с боковыми гранями в точках пересечения диагоналей параллелограма

[ewert]

Вытянутые параллелограмы должны быть, безусловно, одинаковыми. Далее, исходим из того, что они должны пересекаться под прямыми углами (доказывать лень). Пусть $D$ -- диаметр шара. Тогда объём параллелепипеда равен $4D^2$ (если за основание принять параллелограм). С другой стороны (если за основание принять ромб) этот же объём будет равен $D\cdot9\,\sin\alpha$, где $\alpha$ -- маленький угол в ромбе. Наконец, теорема косинусов в ромбе даёт $18-18\,\cos\alpha=2\,D^2$. Всё, система замкнута.

(если я ничего не напутал, то получается

$$R={\sqrt2\over2$$

)

-------------------------
надеюсь, на этот раз всё же верно

[TOTAL]

Rony писал(а):

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 4 и остальными рёбрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найти максимальное значение радиуса шара.
Как решать, подскажите, пожалуйста?

Через середины длинных ребер параллелепипеда проведите плоскость. В сечении получите ромб со стороной $3$, в который вписана окружность. Максимальный радиус окружности равен $3/2$. Это и есть ответ.

Замечание. Это неверные решение и ответ. Улучшенный вариант смотри далее.

[ewert]

TOTAL писал(а):

Rony писал(а):

Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 4 и остальными рёбрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найти максимальное значение радиуса шара.
Как решать, подскажите, пожалуйста?

Через середины длинных ребер параллелепипеда проведите плоскость. В сечении получите ромб со стороной $3$, в который вписана окружность. Максимальный радиус окружности равен $3/2$. Это и есть ответ.

Т.е. ромб -- это квадрат, а параллелепипед -- прямоугольный... Любопытно.

[TOTAL]

Большие параллелограммы с углом $45$ градусов пересекаются под углом $\cos\omega=-1/3$. Радиус шара $1$.
Кто-нибудь проверит?

[ewert]

TOTAL писал(а):

Большие параллелограммы с углом $45$ градусов пересекаются под углом $\cos\omega=-1/3$. Радиус шара $1$.
Кто-нибудь проверит?

Да, похоже на правду (если я при проверке опять чего не зевнул).

Однако: с какой стати сей несчастный шарик будет касаться ещё и обоих ромбиков??!

[TOTAL]

У ромба диагонали равны $2\sqrt{6}$ и $2\sqrt{3}$.
Шар касается большей диагонали ромба, к которой под углом $30$ градусов подходит большое ребро параллелепипеда.

[ewert]

TOTAL писал(а):

У ромба диагонали равны $2\sqrt{6}$ и $2\sqrt{3}$.
Шар касается большей диагонали ромба, к которой под углом $30$ градусов подходит большое ребро параллелепипеда.

Что ж, значит, гипотеза о перпендикулярности оказалась неоправданной.
Абидна, досадна, но -- ладна.

Похоже, максимальный радиус -- действительно 1; я только не понимаю, как Вы на него вышли.

Параметризуем задачу так. Пусть $x$ и $y$ -- диагонали ромба; $z$ -- та диагональ перпендикулярного сечения параллелепипеда, которая не совпадает с $x$. Тогда:

$$V=D\,{xy\over2}\,;$$

$$V=4\,{xz\over2}\,;$$

$$D={xz\over\sqrt{x^2+z^2}}\,;$$

$$x^2+y^2=36\,.$$

Тогда

$$D={4z\over y}={xz\over\sqrt{x^2+z^2}}$$

, откуда

$$z^2={x^2y^2\over16}-x^2={(36-y^2)(y^2-16)\over16}$$

и, следовательно,

$$D^2=-y^2+52-{36\cdot16\over y^2}$$

. Максимальное значение достигается при

$$y^2=\sqrt{36\cdot16}=24$$

, откуда и впрямь

$$D^2_{\rm max}=4$$

.

[Rony]

Спасибо всем большое!