Форма релятивистских объектов

[Areyouwell]

Эллипсоид, движущийся со скоростью $V$ (близкой к скорости света), фотографируется наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от эллипсоида падают параллельным пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением скорости $V$. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Написать уравнение этой кривой.

В книге Бредова, Румянцева, Топтыгина рассматривается случай с кубом. Фотографией будет являться прямоугольник, так как куб будет повернут на угол $\alpha = \arcsin(V/c)$. Можно представить эллипсоид как множество бесконечно малых кубиков и взять интеграл по объему эллипсоида, но будет ли угол поворота у всех них одинаков или нет и как дальше строить уравнение кривой?

[DimaM]

Любой отрезок на снимке будет выглядеть повернутым на один и тот же угол. Соответственно, так же повернется и весь объект.

[Areyouwell]

Хорошо, разрежем эллипсоид вдоль направления скорости и получим бесконечно тонкие плоскости (эллипс). Теперь разобьем эллипс на бесконечно малые отрезки и проинтегрируем по углу (так как угол будет меняться).

$$K = \int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\Bigr(\pm\Bigr(\frac{b}{a}\Bigr)\sqrt{{a^2}-{x^2}}\Bigr)d\alpha dx$$

где $L$ это длина дуги эллипса.

$$L\approx \pi (a+b) \Biggr(1+ \frac{3+(\frac{a-b}{a+b})^2}{10+\sqrt{4-3(\frac{a-b}{a+b})^2}}\Biggr)$$

Далее нужно сложить все эти плоскости (эллипсы), то есть просто интегрируем.

$$ \int_{-z}^{z} K dz$$

где $z$ это

$$z=c\sqrt{1-\Bigr(\frac{x}{a}\Bigr)^2-\Bigr(\frac{x}{b}\Bigr)^2}$$

[Areyouwell]

В выражении для K скорее всего нужно заменить $x$. Из геометрических соображений

$$\frac{dx}{\cos\beta}=\frac{dx'}{\cos{(\alpha+\beta})}$$

$$\frac{dx}{\cos\beta}=\frac{dx'}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}$$

$$dx'=dx(\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\tg{\beta})$$

В итоге получим:

$$K = \int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\Bigr(\pm\Bigr(\frac{b}{a}\Bigr)\sqrt{{a^2}-{x^2}{(\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\tg{\beta})^2}}\Bigr)d\beta dx$$

[Areyouwell]

Вот решение:
Представим эллипсоид в виде совокупности тонких эллипсов, движущихся параллельно своим плоскостям. Выберем эллипс с полуосями $a$ и $b$ и разобьем его на отрезки, бесконечно малой длинны. Из СТО мы знаем про Лоренцево сокращение длинны, т. е. стрежень мы можем представить повернутым на угол $ \alpha = \arcsin(\frac{V}{c}) $. Рассмотрим произвольный отрезок эллипса и из геометрических соображений получим

$$ \frac{dx}{\cos\beta}=\frac{dx'}{\cos{(\alpha+\beta})}$$

$$dx'=dx(\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\tg{\beta})$$

Теперь просуммируем все эти отрезки и получим уравнение фигуры, в которую перешел эллипс. Уравнение эллипса

$$ L = y = \pm\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}$$

Теперь интегрируем

$$ K =\int_{0}^{L} \int_{0}^{2\pi}(\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\tg{\beta})d\beta dx = \pm2\pi\cos{\alpha}\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}$$

Теперь просуммируем все эллипсы и получим уравнение фигуры, в которую перешел эллипсоид. Уравнение эллипсоида

$$ N = z =\pm\sqrt{c^2-\frac{c^2}{a^2}x^2-\frac{c^2}{b^2}y^2}$$

$$ M = \int_{0}^{N}Kdz = \int_{0}^{N}\pm2\pi\cos{\alpha}\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}dz = \pm2\pi\cos{\alpha}\biggr(\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}\biggr)\biggr(\sqrt{c^2-\frac{c^2}{a^2}x^2-\frac{c^2}{b^2}y^2}\biggr)$$

Рассмотрим сечение плоскостью $ xoy$. Пусть $z = 0$, тогда получим $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - уравнение эллипса. Т. е на фотографии мы получим эллипс, с полуосями $ a и b$.

[sergey zhukov]

Я не вполне понял это решение. Я бы решал эту задачу так:

Элипсоид с полуосями $a$, $b$ и $c$, движется со скоростью $u$ вдоль полуоси $a$. Как он будет выглядеть на фото, сделанное издалека в направлении, перпендикулярном его полету? Фото будет аналогично фото неподвижного эллипсоида, подверженного двум последовательным геометрическим преобразованиям:

1. Релятивистское сжатие вдоль полуоси $a$ на величину $\sqrt{1-(\frac{u}{cз})^2}$;

2. Сдвиг, обусловленный конечностью скорости света. Представьте, что этот сжатый эллипсоид нарезан на тонкие сечения вдоль полуоси $a$ и перпендикулярно вашему взгляду, и эти сечения сдвинуты, как карты в колоде так, что чем дальше от вас сечение, тем сильнее оно сдвинуто назад против полета;

Теперь нужно найти проекцию или тень (не сечение) этого тела на плоскость фотопленки. Учитывая, что сжатия и сдвиг оставляют эллипсоид эллипсоидом, а тень эллипсоида на произвольную плоскость есть так же эллипс, на фото мы увидим эллипс. Но это не будет тень того же эллипсоида, когда он неподвижен. Например, при достаточно высокой скорости $u$ все эллипсоиды независимо от величины $a$ будут приближенно выглядеть на фото, как их поперечное сечение - эллипс с полуосями $b$ и $c$. Тень шара выглядит на фото, как неподвижный шар при любой скорости $u$.

Нужно еще уточнить, что так ведет себя проекция (тень) обьемного тела на фото. Если же на поверхность движущегося тела нанесен какой-то рисунок (например, сетка), то ее вид на фото при разных скоростях на шаре будет разным. Это тоже явно следует из двух геометрических преобразований.

[Areyouwell]

Ну в итоге ответ у меня получился такой же как и у вас. То есть тенью будет являться эллипс с полуосями $a$ и $b$, полученный путем сечения исходного эллипсоида плоскостью $z=0$. Если рассмотреть предельный случай, когда $a=b=c$ мы получим шар, ну и соответственно тенью будет являться круг.

[sergey zhukov]

Areyouwell
Ок. Правда, не совсем ясно, как ваш ответ зависит от скорости $u$? Или вы ищете предел при $u \to c$ (т.е. по условию задачи "скорость близка к скорости света")? Тогда без вычислений ясно, что в ответе будет вид тела сзади, т.е. в случае нашего эллипсоида - его центральное сечение, перпендикулярное направлению движения.
Если требуется решить задачу для произвольного $u$, то, по моему, все сводится к повороту эллипсоида так же, как и в случае куба.

[Areyouwell]

Возможно я написал решение немного сумбурно. В данной задаче рассматривался релятивистский объект, то есть тело движется со скоростью $V$ близкой к скорости света (мб по порядку величины), но устремлять ее к $c$ не нужно. Зависимость $M$ то есть уравнения данной поверхности от скорости $V$ прячется в $\cos{\alpha}$, так как $\alpha=\arcsin{\frac{V}{c}}$. И конечно в данном случае произойдет поворот эллипсоида.

[sergey zhukov]

Areyouwell
Вот что у меня получилось.

Эллипсоид движется со скоростью $u$ справа налево вдоль полуоси $a$. Мы фотографируем его снизу, как показано на рисунке. Сжимаем и сдвигаем исходный эллипсоид так, как показано на рисунке. Получаем так же эллипсоид, но повернутый. Тень от эллипсоида, освещенного под углом к полуосям, должна быть эллипсом. Это не очевидно, но это мы просто принимаем на веру. У тени одна полуось будет равна полуоси исходного эллипсоида, перпендикулярной рисунку, т.е. $r$. Вторая полуось будет равна $a'$, ее и нужно найти. Нетрудно вычислить, что $a_s=a\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}$ и $a'=a\sqrt{1+(\frac{u}{c})^2((\frac{b}{a})^2-1)}$
Заметим, что $a'$ - это не проекция полуоси повернутого эллипса Это максимальное расстояние от кривой эллипса до оси $y$.

[Areyouwell]

Так, я вроде разобрался в вашем решении. Если я правильно понял, мы находим полуось $a'$, а вторая полуось остается прежней и будем считать что получится на фотографии именно эллипс. И $a'$ и $a$ отличаются, то есть тут уже будет какой-то видоизмененный эллипс. Но если рассмотреть шар, то $a'=a$, что соответствует уже известному результату. Я думаю ваше решение правильное, просто передо мной преподаватель ставил задачу именно вывести уравнение фигуры и скорее всего у него возникли бы вопросы, если бы я просто взял за истину, что получится именно эллипс. Спасибо за помощь, интересно было почитать, каким способом тут еще можно было подойти к задаче.

[sergey zhukov]

Areyouwell
А я, честно говоря, не совсем понял, как можно найти тень трехмерного тела при помощи его сечения плоскостью. В общем случае тень произвольного трехмерного тела не является никаким из его плоских сечений. Она даже не является параллельными проекциями этих сечений. Это верно только в частных случаях, когда линия терминатора (линия на теле, разделяющая свет и тень) является плоской кривой. Например, на шаре это очевидно плоская кривая (круг), поэтому тень от шара есть его плоское сечение. А вот для эллипса это, видимо, тоже верно, но это не очевидно. Неочевидно так же, в какой плоскости на эллипсоиде лежит эта линия, если направление света не совпадает по направлению ни с одной из полуосей.
Поэтому я так полагаю, что с сечением у Вас что-то не то.
И кстати, а как у вас форма тени зависит от скорости $u$? Почему нужно использовать сечение эллипсоида именно плоскостью $xoy$? Не совсем понятно, какие полуоси у неподвижного эллипсоида. Если они остались теми же и у тени движущегося эллипсоида, как это вроде бы следует из Вашего решения, то это просто неверно. Честно говоря, а в Вашем решении что-то не все понимаю.

[Areyouwell]

Насчет зависимости формы тени от скорости я написал выше. А почему направление света не совпадает с ни с одной из полуосей? По условию лучи света составляют прямой угол с направлением скорости. Получить тень эллипсоида при помощи сечения его плоскостью, просто интуитивно понятно. Я допускаю, что я выбрал неправильную плоскость сечения.

[sergey zhukov]

Areyouwell
Направление света не совпадает с направлением полуосей потому, что эллипсоид после двух преобразований имеет полуоси, направленные под углом к исходным полуосям. Это очевидно на последнем рисунке. Нарисуйте полуоси и увидите, что они повернулись против часовой стрелки. И кстати, повернутая большая полуось не пройдет через точки, максимально удаленные от оси $y$, которые отмечены жирными точками. Поэтому я и написал выше, что тень этого эллипсоида - это даже не проекция его сечения вдоль большой полуоси. В данном случае тень есть косое сечение эллипсоида, так что нужно еще подумать, как именно его рассечь.
Ваша формула для тени должна зависеть от $u$. У вас же формула для эллипсоида зависит от $u$, а формула для тени - нет. Это неверно.