Собственные функции бигармонического оператора в ДСК

[Pumpov]

Добрый день.

Возник вопрос, существует ли аналитическая запись для собственных функций бигармонического оператора в декартовой системе координат (двумерный случай). При этом нужно чтобы выполнялись граничные условия на прямоугольной области - условия для границ прямоугольной тонкой пластины со свободными краями:

$\frac{\partial^3 w}{\partial x^3} + (2-\nu)\frac{\partial^3 w}{\partial x \partial y^2} = 0$,
$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = 0$,

и наоборот, при $x \leftrightarrow y$.

Для сравнения, если взять полярную систему координат, то такие функции существуют - они представляют собой моды собственных колебаний тонкой круглой пластины и записываются через функции Бесселя:
https://asmedigitalcollection.asme.org/ ... m=fulltext

Встречаются публикации, где говорится о собственных функциях бигармонического оператора, с граничными условиями, как для свободно опертого края пластины, например: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

А про граничные условия, как у свободного края - мне неизвестно, есть ли решение. В одномерном случае оно есть - это моды собственных колебаний призматического стержня со свободными концами, уже создавал тему про них: topic144887.html

В двумерном же случае, если взять оператор $\frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}$ , то перекрёстный член "всё портит".

[Red_Herring]

Метод разделения не работает. А как же особые случаи? Ну например при свободно опертых краях $x=0$ и $x=a$ краях прямоугольной пластины то там идет разложение по с.ф.:

$$u(x,y)= \sum_{m=1}^\infty Y_m (y)\sin (\tfrac{\pi n x}{a}).$$

Аналогично для круглой пластины (там тоже будет ряд Фурье (только полный) по $\theta$.

С операторной точки зрения в этих особых случаях четвертая прозводная (с краевыми условиями из задачи) будет квадратом второй производной (с краевыми условиями из задачи) в одном случае по $x$, в другом по $\theta$. А в общем случае этого нет.

[Pumpov]

Мой случай - он не особый? Я не совсем понял ссылку на особые случаи.
Да, метод разделения не работает. Получается, что для прямоугольной пластины нет аналитического решения задачи о собственных модах?

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1511819 писал(а):

Получается, что для прямоугольной пластины нет аналитического решения задачи о собственных модах?

Подозреваю, что нет, по крайней мере, методом разделения переменных

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1511824 писал(а):

Pumpov в сообщении #1511819 писал(а):

Получается, что для прямоугольной пластины нет аналитического решения задачи о собственных модах?

Подозреваю, что нет, по крайней мере, методом разделения переменных

Ясно, спасибо. Это нетривиальный факт, если так.