Интерпретация чисел Эйлера 1-го рода

[kthxbye]

Пусть $T(n,k)$ (A008292) - это число перестановок длины $n+1$ из отличных друг от друга элементов $p_1,p_2,\cdots,p_{n+1}$, где элементы принадлежат множеству $\left\lbrace1,2,\cdots,n+1\right\rbrace$, $p_1=1$ и для которых

$$(k-1)(n+1) < \sum\limits_{j=1}^{n} (p_{j+1}-p_j)\bmod (n+1) < k(n+1)$$

при $1 < k < n$ и с $T(n,1)=T(n,n)=1$.

Как это можно доказать?

[kthxbye]

Если что,

$$T(n,k)=\left\langle\! n\atop k-1 \right\rangle\!$$

.

[kthxbye]

У кого-нибудь есть какие-нибудь идеи? Если что, это некая лемма, она конечная в некотором доказательстве.