Выделить нужную величину

[ViktorArs]

Добрый день.
Сразу хочется отметить, что я знаю правила форума и предполагается кроме озвучивания вопроса также писать попытки / мысли о решении. Однако тут вопрос несколько шире, я не знаю даже в каком разделе математики эти вопросы рассматриваются? Поэтому при всем уважении не хотелось бы сразу попасть в "карантин", т.к. будет очень сложно на данном этапе более развернуто что-то описать.

Для простоты на конкретном примере. Итак дано 6 величин
$X_1, X_2, . . . , X_6$.
Каждая из них измерена и поэтому имеет погрешность. Т.к. имеется погрешность, то по тексту я буду везде писать не равно, а примерно равно. Так вот:
- две, какие-то из шести, переменых имеют истинное значание в диапазоне от 0 до 1 (повторюсь, что это теоретический диапазон, а наличие погрешности у величин этот "красивый" диапазон расширяет),
- две какие-то другие из шести имеют теоретическое значение больше 1-цы,
- две оставшиеся имеют теоретическое значение примерно равное 1-це.
И еще раз повторюсь все величины имеют погрешности.
Как из шести ввеличин выделить 2 истинных?

UPD: Забыл сказать, что есть предельныый случай, когда все шесть примерно равны 1-це. Но это наверно как раз не проблема, т.к. в этом случае без разницы на какую величину смотреть, т.к. все величины в этом случае истинны.


С уважением.

[Александрович]

ViktorArs в сообщении #1511050 писал(а):

Как из шести ввеличин выделить 2 истинных?

Те, которые меньше 1.

[arseniiv]

Александрович в сообщении #1511053 писал(а):

Те, которые меньше 1.

Ну тут понятно, что это недостаточно хорошо: во-первых пусть они все меньше единицы, какие брать? Если брать самые маленькие, то для кучи опытов среднее выданных нами величин будет стабильно меньше среднего идеальных. Хотелось бы, как понимаю, чтобы такое расхождение не накапливалось.

ViktorArs
Я бы предложил переобозначить всё: у нас есть какие-то теоретические константы $x_1, \ldots, x_6$ и есть какие-то случайные величины $D_1, \ldots, D_6$, а измеренные значения — это случайные величины $X_i = x_i + D_i$. Так мы сможем записать разные возможные варианты задач, подходящих под описание «сделать получше».

Теперь вопрос: есть ли у вас какие-то надежды насчёт распределений $D_i$? Любые, не обязательно хорошие типа «они все нормальные» или «у них у всех матожидание 0» или «они все равнораспределены и независимы» или совсем уж замечательно было бы «они все независимы и одинаково нормально распределены с известными параметрами $\mu = 0$ и $\sigma$». Насколько хорошие у нас ожидания, настолько же лучше можно сформулировать задачи и решения. Если ожиданий никаких нет, то не будет надежд, что одно решение чем-то сильно лучше другого, и тогда может сойти брать действительно случайно две из тех, которые меньше единицы.

[ViktorArs]

Спасибо.
Да, действительно информации нет. И о распределении тоже ничего, т.к. это данные для разных моментов времени, для процессов которые могут происходить в совершенно разных условиях. Поэтому по ощущениям вообще говорить о законах распределения не приходится. Природа погрешностей также м.б. разная.

Гипотетически: а если бы было что-то известно то как тогда действовать?

[Евгений Машеров]

Честно сказать, совсем условие не понял. Это шесть разных величин, или шесть измерений одной величины, причём два отягощены малой ошибкой, а остальные грубой (и надо отбраковать грубые ошибки, оценив параметр по правильным), или шесть объектов, из которых надо отобрать два "правильных" (скажем, боеголовка-"автобус" доставляет две настоящие боеголовки, два имитатора и ещё два более примитивных имитатора, они разделились и надо навести противоракеты на боевые, зная измеренные с ошибкой сигнатуры)? Или ещё что-то?
Для одних указаны "истинные" значения, для других "теоретические" - что имеется в виду?

[arseniiv]

ViktorArs в сообщении #1512398 писал(а):

Гипотетически: а если бы было что-то известно то как тогда действовать?

Для общего случая не знаю, хотя может быть действительно есть какие-то уже написанные алгоритмы «посчитать то и то, а если известно такое, то вот это вместо того», но я не занимаюсь статистикой.

В общем если ничего не известно совсем и накопить статистику правильных отождествлений величин с их наблюдениями нельзя (чтобы по ней оценить то и это), я бы предложил как выше случайно выбирать два значения из тех, которые меньше единицы, а если двух не наберётся, то добрать недостающую одну или две, взяв одно или два наименьших из значений. Это увы внесёт систематическую погрешность всё равно, но по крайней мере мы не знаем какую. Она может оказаться очень малой.

Евгений Машеров в сообщении #1512409 писал(а):

Честно сказать, совсем условие не понял.

FTR вот как я его понял (так как мои советы будут хоть что-то стоить только при условии что угадал): есть шесть разных распределений ошибок $\mathcal D_i$, шесть постояных $x_i$, про которые мы ничего не знаем кроме неравенств $x_1, x_2 \in [0; 1]$, $x_3, x_4 \approx 1$, $x_5, x_6 > 1$, ещё есть неизвестная перестановка $\sigma \in S_6$, и нам дали по реализации $x_{\sigma i} + D_{\sigma i}$, где $D_i \sim \mathcal D_i$, а надо узнать $\{ x_1, x_2 \}$.

ViktorArs
С этой трактовкой вы ведь согласны?

-- Чт апр 01, 2021 16:31:46 --

(И можно наверно просто даже считать $x_3 = x_4 = 1$ и всю неизвестность этих значений перенести в ошибку.)

[Евгений Машеров]

В такой постановке, если ещё принять, что распределение ошибки везде одинаковое, ничего иного, как брать две минимальных, не видно...

[ViktorArs]

Всем спасибо за участие.
arseniiv
Да, с трактовкой согласен. Одно уточнение: достаточно узнать какие из реализаций истинные, а не искать истинные значения.

1. Все значения - измеренные в одном эксперименте.
2. Попарно измерения с разных точек наблюдения. Т.е. 1-я точка 2 измерения, 2-я точка - 2 измерения, и 3-я точка - 2 измерения.
3. Накопить статистику - наверно нет. Т.к. От эксперимента к эксперименту условия меняются. Т.е. нет такого, что 100 экспериментов в одинаковых условиях.