Катушка с нитью

[Prog_gen]

Здравствуйте!
Появился небольшой вопрос при решение задачи.

Сама задача:
К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки $r = 0.5 sm$, радиус ее щечек $R = 10 sm$. Коэффициент трения между стенкой и катушкой $\mu = 0.1$ . При каком угле $\alpha$ между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?

Можно привести сразу очевидное решение:
1)$N=Tsin\alpha$
2)$Tr=F_{fric}R$
3)$F_{fric} = \mu N$

Из этой системы элементарно находится угол при котором система будет покоится.
Но вот как проанализировать остальные углы.. Я молчаливо предположил, что сила трения максимальна, но если там будет сила трения покоя.
Тогда казалось бы можно предложить такое решение:

1)$N=Tsin\alpha$
2)$Tr=F_{fric}R$
3)$F_{fric} \leqslant \mu N$

И получаю ответ: $\frac{1}{\sin\alpha} \leqslant \frac{\mu R}{r}$
И подставляя числа получаю ответ, что положение равновесия будет при $0 \leqslant \alpha \leqslant \arcsin( \frac{r}{\mu R})$
Что с точки зрения опыта кажется мне немного странным.

[rascas]

Prog_gen в сообщении #1510574 писал(а):

И получаю ответ: $\frac{1}{\sin\alpha} \leqslant \frac{\mu R}{r}$
И подставляя числа получаю ответ, что положение равновесия будет при $0 \leqslant \alpha \leqslant \arcsin( \frac{r}{\mu R})$

Из первой формулы не следует вторая. Ошиблись в знаках при преобразовании.

[Prog_gen]

Да, точно.
Получается ответ для конкретных значений из задачи

$$ \frac{\pi}{6} \leqslant \alpha \leqslant \frac{5\pi}{6} $$

Есть все равно какая-то неуверенность правильный ли этот ответ. Еще и из чисто формального решения получили угол больше 90, нельзя ли тут как-то аккуратнее подойти к задаче.

[DimaM]

Prog_gen в сообщении #1510583 писал(а):

Еще и из чисто формального решения получили угол больше 90, нельзя ли тут как-то аккуратнее подойти к задаче.

Если силу тяжести не учитывать, то запросто такие углы будут получаться. А так нужно добавить еще уравнение

$$T\cos\alpha+F_{fric}=mg.$$

[rascas]

Prog_gen в сообщении #1510583 писал(а):

Получается ответ для конкретных значений из задачи

$$ \frac{\pi}{6} \leqslant \alpha \leqslant \frac{5\pi}{6} $$

Формально да. Такое возможно. Но если брать углы более $\frac{\pi}{2}$ то в этой области равновесие неустойчивое. При малейшем отделении катушки от стенки нет сил возвращающих катушку к стене.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1510601 писал(а):

Если силу тяжести не учитывать, то запросто такие углы будут получаться

Такие углы будут получаться для цилиндра, например. И тогда это уравнение не нужно.
А вот для катушки оно может понадобиться, если вспомнить, что нитка - это нитка.

-- 23.03.2021, 13:53 --

rascas в сообщении #1510609 писал(а):

Такое возможно. Но если брать углы более $\frac{\pi}{2}$ то в этой области равновесие неустойчивое.

Нет. При угле $\frac{\pi}{2}$ равновесие будет устойчивым и при некоторых больших углах - тоже.

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1510612 писал(а):

при некоторых больших углах - тоже

Нет. Устойчиво не будет. См:

rascas в сообщении #1510609 писал(а):

При малейшем отделении катушки от стенки нет сил возвращающих катушку к стене.

Последовательность событий такая: малейшее отделение катушки от стены, натяжение нити 0. И катушка падает (со звоном ) .

[Prog_gen]

Было бы очень интересно разобраться аккуратно с этой задачей, не важно какими методами, хоть Лагранжевой механикой.
Я пока не понимаю, как подойти к этой силе трения покоя аккуратно.
Может пойму зачем уравнение с силой тяжести, пока не пригодилось, но чувствуется, что оно важно

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1510614 писал(а):

Нет. Устойчиво не будет

Нет. Устойчиво будет.
Рассмотрите для простоты вместо катушки цилиндр и угол $\pi / 2$. И посмотрите куда он полетит, если его отодвинуть от стены "чуть-чуть". Не забывайте о ненулевом моменте инерции.

Prog_gen в сообщении #1510627 писал(а):

Я пока просто не понимаю, как подойти к этой силе трения покоя аккуратно.

С силой трения покоя у Вас уже всё аккуратно. Неаккуратно с нитью. Какие свойства идеальной нити Вы знаете?

[Prog_gen]

EUgeneUS в сообщении #1510630 писал(а):

С силой трения покоя у Вас уже всё аккуратно. Неаккуратно с нитью. Какие свойства идеальной нити Вы знаете?

1)Нить нерастяжима
2)Она не провисает

[EUgeneUS]

Вот с этого места по подробнее, пожалуйста,

Prog_gen в сообщении #1510634 писал(а):

2)Она не провисает

Что это означает?

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1510630 писал(а):

Нет. Устойчиво будет.
Рассмотрите для простоты вместо катушки цилиндр и угол $\pi / 2$. И посмотрите куда он полетит, если его отодвинуть от стены "чуть-чуть". Не забывайте о ненулевом моменте инерции.

Ваш пример не подходит, мы рассматриваем угол наклона нити строго более $\frac{\pi}{2}$

Если мы немного отодвинем катушку (цилиндр) от стены и ослабим натяжение нити до 0 (подразумеваю, что нить нерастяжимая), то нет ни каких сил действующих на катушку, кроме силы тяжести. Под действием силы тяжести катушка (цилиндр) начнёт поступательное движение вниз. Нить ещё больше будет ослабевать, не притягивая катушку к стене. Катушка упадёт.
Положение равновесия было не устойчивым.

Естественно, предполагается, что катушка (если цилиндр то $r=R$) имеет некую массу и момент инерции. Нить предполагается нерастяжимой.

Согласен, что загвоздка в свойствах нити.

[Prog_gen]

EUgeneUS в сообщении #1510637 писал(а):

Вот с этого места по подробнее, пожалуйста,

Prog_gen в сообщении #1510634 писал(а):

2)Она не провисает

Что это означает?

Что сила натяжения не должна обращаться в ноль

[rascas]

Prog_gen в сообщении #1510642 писал(а):

Что сила натяжения не должна обращаться в ноль

А если концы нерастяжимой нити длиной $l$ закрепить на расстоянии $n$ и $n<l$ Нить разве не провиснет? И какая у неё будет сила натяжения?

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1510638 писал(а):

Если мы немного отодвинем катушку (цилиндр) от стены и ослабим натяжение нити до 0 (подразумеваю, что нить нерастяжимая), то нет ни каких сил действующих на катушку, кроме силы тяжести.

1. Мы не можем отодвинуть от стены, сохранив длину нити и угол, чтобы снять натяжение нити.
2. Так как сила трения достаточна велика, чтобы колесо не проскальзывало в точке контакта, то для исследования устойчивости нужно рассматривать малые повороты относительно точки контакта. А при некоторых углах при таких поворотах, когда цилиндр сдвигается вниз (по часовой если на рисунок смотреть) - сила натяжения будет только расти. То есть положение устойчивое.
Но как только проскользнуло - свалится.