точный куб

[geomath]

Какое утверждение тривиально?

[xagiwo]

geomath

geomath в сообщении #1511508 писал(а):

Тогда число цифр в $y$ образует арифметическую прогрессию с шагом $8$.

[geomath]

Мне не тривиально, я не умею такое доказывать.

[Null]

geomath в сообщении #1511568 писал(а):

Мне не тривиально, я не умею такое доказывать.

$y$ при ваших $x,z$ и $a$ считается явно.

geomath в сообщении #1511552 писал(а):

$a = x^3$,$x = 10^n$.

geomath в сообщении #1511508 писал(а):

$z= (a+1)^2.$

maxal в сообщении #1510500 писал(а):

$(xz+1)(yz+1)=az^3+1$

Вы не можете подставить?

[geomath]

Null в сообщении #1511584 писал(а):

Вы не можете подставить?

Ну, xagiwo уже подставил:

xagiwo в сообщении #1511559 писал(а):

geomath
Всё хорошо, просто утверждение тривиально из-за того, что $y = x^2z - x = x^2(x^3+1)^2 - x$.

Потерял только $x^2$. Ну да неважно, пусть $x=10^n$, дальше какие слова говорить?

[nnosipov]

geomath в сообщении #1511632 писал(а):

дальше какие слова говорить?

Дальше раскрыть скобки и получить $y=x^8+\ldots$. Видите там показатель $8$? Вот поэтому при увеличении $n$ на единицу у игрека на $8$ цифр становится больше.

[geomath]

Ну да, вижу, только нестрого все это как-то. Вот если бы по индукции доказать...

[nnosipov]

geomath в сообщении #1511643 писал(а):

только нестрого все это как-то

Так докажите строго, это же нетрудно. А именно, докажите, что при $x=10^n$ число $y=x^2(x^3+1)^2-x$ имеет ровно $8n+1$ десятичных знаков. Здесь $n \in \mathbb{N}$ --- любое.

Кстати, там не только можно все циферки пересчитать, но даже и выписать их все.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1511493 писал(а):

maxal
А откуда задача?

https://math.stackexchange.com/q/3842292
Там решение есть, но длинноватое.

[geomath]

nnosipov в сообщении #1511658 писал(а):

Так докажите строго, это же нетрудно. А именно, докажите, что при $x=10^n$ число $y=x^2(x^3+1)^2-x$ имеет ровно $8n+1$ десятичных знаков. Здесь $n \in \mathbb{N}$ --- любое.

Вы тоже $x^2$ в записи $y$ потеряли.

[nnosipov]

geomath в сообщении #1511683 писал(а):

Вы тоже $x^2$ в записи $y$ потеряли.

Вы о чем? Точно сформулируйте утверждение, которое Вы хотите доказать.

[geomath]

nnosipov в сообщении #1511658 писал(а):

$y=x^2(x^3+1)^2-x$

$y=x^2(x^3+1)^2+x^2-x$

[nnosipov]

Повторяю вопрос:

nnosipov в сообщении #1511684 писал(а):

Точно сформулируйте утверждение, которое Вы хотите доказать.

[geomath]

Извиняюсь, я ошибся в записи, единичку лишнюю добавил. Всё правильно.

[maxal]

maxal в сообщении #1510500 писал(а):

Пусть положительные целые числа $a,x,y,z$ таковы, что $(xz+1)(yz+1)=az^3+1$ и $z\geq (a+1)^2$.
Докажите, что $a$ является кубом целого числа.

Обобщается ли это на $(xz+1)(yz+1)=az^5+1$, где $a$ должно быть точной 5-й степенью, и что для этого нужно потребовать от соотношения $z$ и $a$?