Рассказал сегодня своим школьникам. Очень понравилось. Это народное творчество или есть автор?
Имя Автора не знаю, я даже не помню откуда я знаю это доказательство, но я его точно где то прочитал, кажется тут:
Незнаю как отправить файл
Автор : Keith Conrad
Proofs by descent
В "Арифметических исследованиях" Гаусса этот метод применяется для классификации простых, для которых

является квадратичным вычетом или невычетом. Также Гаусс ссылается на Эйлера, Лагранжа и Ферма. Возможно, что идея спуска принадлежит кому-то из них. Затем Гаусс даёт первое доказательство квадратичного закона взаимности - доказательство по индукции. Его рассуждение использует те же методы, которые были использованы при анализе частных случаев, но содержит разбор большого количества случаев, а также опирается на такое вспомогательное утверждение: для любого простого

найдётся простое

, такое что

есть квадратичный невычет по модулю

.
Недавно я заметил, что некоторые частные случаи закона взаимности могут быть доказаны с помощью уравнения Пелля. Пусть

- простые числа. Пусть

, причём

минимально возможные. Рассмотрением по модулю 4 получаем

.

Числа

и

взаимнопросты и равны

либо

. В первом случае

, что невозможно. Во втором случае

. Рассматривая это равенство по модулям

и

, получаем

.
Похожими рассуждениями можно разобрать случай, когда

и

. Вполне ожидаемо, если одно из чисел

даёт остаток 1 при делении на 8, возникают трудности. Может быть, этот случай можно разобрать с помощью упомянутого выше вспомогательного утверждения Гаусса.