2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: p|x^2+1
Сообщение27.03.2021, 21:57 
Аватара пользователя


23/12/18
430
А я думал, но так ничего и не придумал :(

 Профиль  
                  
 
 Re: p|x^2+1
Сообщение15.05.2023, 15:17 


21/04/22
330
nnosipov в сообщении #1510208 писал(а):
Рассказал сегодня своим школьникам. Очень понравилось. Это народное творчество или есть автор?

rightways в сообщении #1510212 писал(а):
Имя Автора не знаю, я даже не помню откуда я знаю это доказательство, но я его точно где то прочитал, кажется тут:

Незнаю как отправить файл
Автор : Keith Conrad
Proofs by descent

В "Арифметических исследованиях" Гаусса этот метод применяется для классификации простых, для которых $-1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 7$ является квадратичным вычетом или невычетом. Также Гаусс ссылается на Эйлера, Лагранжа и Ферма. Возможно, что идея спуска принадлежит кому-то из них. Затем Гаусс даёт первое доказательство квадратичного закона взаимности - доказательство по индукции. Его рассуждение использует те же методы, которые были использованы при анализе частных случаев, но содержит разбор большого количества случаев, а также опирается на такое вспомогательное утверждение: для любого простого $a \equiv 1 \pmod{4}$ найдётся простое $p < a$, такое что $a$ есть квадратичный невычет по модулю $p$.

Недавно я заметил, что некоторые частные случаи закона взаимности могут быть доказаны с помощью уравнения Пелля. Пусть $p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}$ - простые числа. Пусть $x_0^2 - pqy_0^2 = 1$, причём $x_0, y_0$ минимально возможные. Рассмотрением по модулю 4 получаем $2 \mid y_0$.
$$\frac{x_0 - 1}{2}\frac{x_0 + 1}{2} = pq\left(\frac{y_0}{2}\right)^2$$
Числа $\frac{x_0 - 1}{2}$ и $\frac{x_0 + 1}{2}$ взаимнопросты и равны $u^2, pqv^2$ либо $pu^2, qv^2$. В первом случае $u^2 - pqv^2 = \pm 1$, что невозможно. Во втором случае $pu^2 - qv^2 = \pm 1$. Рассматривая это равенство по модулям $p$ и $q$, получаем $(\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = -1$.
Похожими рассуждениями можно разобрать случай, когда $p \equiv 5 \pmod{8}$ и $q \equiv 3 \pmod{4}$. Вполне ожидаемо, если одно из чисел $p, q$ даёт остаток 1 при делении на 8, возникают трудности. Может быть, этот случай можно разобрать с помощью упомянутого выше вспомогательного утверждения Гаусса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group