2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: p|x^2+1
Сообщение27.03.2021, 21:57 
Аватара пользователя


23/12/18
430
А я думал, но так ничего и не придумал :(

 Профиль  
                  
 
 Re: p|x^2+1
Сообщение15.05.2023, 15:17 


21/04/22
356
nnosipov в сообщении #1510208 писал(а):
Рассказал сегодня своим школьникам. Очень понравилось. Это народное творчество или есть автор?

rightways в сообщении #1510212 писал(а):
Имя Автора не знаю, я даже не помню откуда я знаю это доказательство, но я его точно где то прочитал, кажется тут:

Незнаю как отправить файл
Автор : Keith Conrad
Proofs by descent

В "Арифметических исследованиях" Гаусса этот метод применяется для классификации простых, для которых $-1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 7$ является квадратичным вычетом или невычетом. Также Гаусс ссылается на Эйлера, Лагранжа и Ферма. Возможно, что идея спуска принадлежит кому-то из них. Затем Гаусс даёт первое доказательство квадратичного закона взаимности - доказательство по индукции. Его рассуждение использует те же методы, которые были использованы при анализе частных случаев, но содержит разбор большого количества случаев, а также опирается на такое вспомогательное утверждение: для любого простого $a \equiv 1 \pmod{4}$ найдётся простое $p < a$, такое что $a$ есть квадратичный невычет по модулю $p$.

Недавно я заметил, что некоторые частные случаи закона взаимности могут быть доказаны с помощью уравнения Пелля. Пусть $p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}$ - простые числа. Пусть $x_0^2 - pqy_0^2 = 1$, причём $x_0, y_0$ минимально возможные. Рассмотрением по модулю 4 получаем $2 \mid y_0$.
$$\frac{x_0 - 1}{2}\frac{x_0 + 1}{2} = pq\left(\frac{y_0}{2}\right)^2$$
Числа $\frac{x_0 - 1}{2}$ и $\frac{x_0 + 1}{2}$ взаимнопросты и равны $u^2, pqv^2$ либо $pu^2, qv^2$. В первом случае $u^2 - pqv^2 = \pm 1$, что невозможно. Во втором случае $pu^2 - qv^2 = \pm 1$. Рассматривая это равенство по модулям $p$ и $q$, получаем $(\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = -1$.
Похожими рассуждениями можно разобрать случай, когда $p \equiv 5 \pmod{8}$ и $q \equiv 3 \pmod{4}$. Вполне ожидаемо, если одно из чисел $p, q$ даёт остаток 1 при делении на 8, возникают трудности. Может быть, этот случай можно разобрать с помощью упомянутого выше вспомогательного утверждения Гаусса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group