Два вопроса - функциональный анализ и теория множеств

[Alexiii]

Первый вопрос: объясните,пожалуйста,почему в пространстве непрерывных функций $C[a,b]$ любая конечная система функций $t , t^2 , t^3, ... , t^n$ линейно независима.
Мои размышления:
Допустим,что это не так. Тогда в равенстве ${a_1}t+{a_2}t^2+...+{a_n}t^n=0$ хотя бы один из действительных коэфициентов a_iотличен от нуля.
Но так как ${a_1}t+{a_2}t^2+...+{a_n}t^n$ принадлежит тому же пространству непрерывных функций,то $f(t)={a_1}t+{a_2}t^2+...+{a_n}t^n$ тоже непрерывная функция,а раз для любых t $f(t)=0$, то f(t) тождественно равна нулю,а из этого следует,что у многочлена ${a_1}t+{a_2}t^2+...+{a_n}t^n$ более n корней (любое t из [a,b] является корнем многочлена).Значит допущение неверно и этим проблема исчерпана.
Может,я где-то ошибаюсь?

Второй вопрос: как доказать,обходя определение связного множества через невозможность его представления в виде объединения двух непересекающихся непустых,не содержащих предельных точек друг-друга множеств,что если два замкнутых множества в пересечении и объединении связны,то мы изначально имели дело со связными множествами.

Добавлено спустя 1 час 30 минут 53 секунды:

Видимо сегодня мало народа на форуме

[Brukvalub]

Первое доказательство - верно, про второе - не думал.

[Taras]

Правильно ли я понимаю условие второй задачи:
Пусть $(X,\tau)$ - топологическое пространство. Замкнутые множества $A,B$, из етого тп, таковы что, $A\cup B$, $A\cap B$ - связные. Доказать, что $A,B$ - связные ?

[Alexiii]

Можно брать даже метрическое пространство,но с удовольствием приму доказательство в случае топологического пространства.

[AD]

Alexiii писал(а):

обходя определение связного множества через невозможность его представления в виде объединения двух непересекающихся непустых,не содержащих предельных точек друг-друга множеств

То есть из какого определения мы исходим?

[Alexiii]

разве нет иных определений?
Если нет,то тогда вопрос исчерпан.
Но тогда можно сузить условия задачи до постранства,где можно дать другое определение связности.

[Бодигрим]

Ну так предложите это "другое определение связности".

[Alexiii]

Я не знаю.
Можно взять аналогичное случаю $R^n$ определение.

[Taras]

Напишите, пожалуйста, аналогичное определение для такого случая.

[Alexiii]

Что-то наподобие этого - множество связно ,если для ее любых двух точек существует непрерывная функция...дальше сами знаете.
Если я сейчас гоняю сильную пургу , то тогда откуда узнать,что другого определения нету?

[Бодигрим]

Вы имеете в виду линейную связность? Дело в том, что не всякое связное множество линейно связно. Но всякое линейно связное - связно.

[Alexiii]

В случае линейной связности задача проста.

выходит,что другого определения связности нету и тема закрыта?

[Echo-Off]

Других определений - пруд пруди.

Множество $A$ называется связным, если из того, что $A=B\bigsqcup C$, где $B$ и $C$ - открытые, следует, что либо $B=\varnothing$, либо $C=\varnothing$.

Множество $A$ называется связным, если из того, что $A=B\bigsqcup C$, где $B$ и $C$ - замкнутые, следует, что либо $B=\varnothing$, либо $C=\varnothing$.

Множество $A$ называется связным, если из того, что $B\subset A$ и $B$ открытое и замкнутое, следует, что либо $B=\varnothing$, либо $B=A$.

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

Для извращенцев:

Множество $A$ называется связным, если из того, что $$A=\bigsqcup\limits_{n=1}^{1000}B_n$ и каждое множество $B_n$ открыто, следует, что 999 из этих множеств пустые.

[RIP]

Но это всё просто переформулировки одного и того же. Вот ещё одна в том же духе:
Множество $A$ несвязно, если существует непрерывная функция $f\colon A\to\mathbb R$, принимающая ровно 2 значения. Множество связно, если оно не является несвязным.