Сложный пуассоновский процесс

[marie-la]

Задача - найти одномерную функцию распределения сложного пуассоновского процесса, порожденного экспоненциальными случайными величинами:
$S=\sum\limits_{k=1}^{N} \xi_k$, где $\xi_k$ - независимые экспоненциальные с параметром 1, $N$ - не зависящая от них пуассоновская с параметром $\lambda$.

Дошла я до того, что функция распределения есть вероятность, что одна пуассоновская не больше другой не зависящей от нее пуассоновской. И вот чего-то у меня не суммируется. А должно?

[alisa-lebovski]

Сумма показательных - это гамма. Суммируете гамма-плотности с пуассоновскими весами.

[marie-la]

alisa-lebovski
Так да, я так и сделала. Но в результате сумма не сворачивается ни во что хорошее. Если плотности суммировать, там квадрат факториала в знаменателе выходит.

[alisa-lebovski]

Вы выпишете на всякий случай, что получается. Может быть, это функции Бесселя или типа того.

[marie-la]

alisa-lebovski
После интегрирования плотности гаммы выходит двойная сумма
$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\sum\limits_{r=k}^{\infty} \frac{x^r e^{-x}}{r!}$

[alisa-lebovski]

Зачем после? Предлагаю найти то, что находится - плотность. А потом уже интегрировать. Кстати, степенной ряд с квадратом факториала в знаменателе Вольфрам находит.

[marie-la]

alisa-lebovski
Ну, мне пишет, что это "модифицированная функция Бесселя". Мне просто в ответе функция распределения нужна. Так и писать - интеграл от функции Бесселя? Это какая-нибудь еще специальная функция? Не люблю такие штуки, надеялась на более красивый ответ.

[alisa-lebovski]

Ну что поделаешь. По-моему, больше ничего тут не получится.