Квадратичные вычеты по модулю p

[Jfresearch]

Задача из двух пунктов: а) все вычеты по модулю $p$ ($p$ — простое)возвели в квадрат. Сколько различных вычетов получилось? б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.

По первому пункту понятно, что при $p>2$ все квадратичные вычеты будут выглядеть как $1^2$, $2^2$, $3^2$,..., $m^2$ по модулю $p$, где $m=\frac{(p-1)}{2}$, а как их посчитать?

[mihaild]

Что вы знаете о мультипликативной группе конечного поля?

[Jfresearch]

mihaild в сообщении #1508869 писал(а):

Что вы знаете о мультипликативной группе конечного поля?

Знаю, что она циклична

[nnosipov]

Jfresearch в сообщении #1508866 писал(а):

б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.

После того как решите эту задачу: попробуйте подсчитать число решений. Это не так сложно как кажется.

[Sonic86]

Jfresearch в сообщении #1508866 писал(а):

б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.

Можно просто посчитать мощность множества значений функции $f(x)=x^2$ в поле вычетов по модулю $p$ (т.е. решить задачу из пункта а)) и сделать вывод из этого.