2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратичные вычеты по модулю p
Сообщение12.03.2021, 17:23 


02/01/21
7
Задача из двух пунктов: а) все вычеты по модулю $p$ ($p$ — простое)возвели в квадрат. Сколько различных вычетов получилось? б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.

По первому пункту понятно, что при $p>2$ все квадратичные вычеты будут выглядеть как $1^2$, $2^2$, $3^2$,..., $m^2$ по модулю $p$, где $m=\frac{(p-1)}{2}$, а как их посчитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты по модулю p
Сообщение12.03.2021, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9262
Цюрих
Что вы знаете о мультипликативной группе конечного поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты по модулю p
Сообщение12.03.2021, 17:40 


02/01/21
7
mihaild в сообщении #1508869 писал(а):
Что вы знаете о мультипликативной группе конечного поля?


Знаю, что она циклична

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты по модулю p
Сообщение12.03.2021, 19:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9142
Jfresearch в сообщении #1508866 писал(а):
б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.
После того как решите эту задачу: попробуйте подсчитать число решений. Это не так сложно как кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты по модулю p
Сообщение13.03.2021, 11:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Jfresearch в сообщении #1508866 писал(а):
б) Докажите, в поле вычетов по модулю p уравнение $x^2+y^2+1=0$ всегда имеет решение.
Можно просто посчитать мощность множества значений функции $f(x)=x^2$ в поле вычетов по модулю $p$ (т.е. решить задачу из пункта а)) и сделать вывод из этого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_2000


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group