Кривая Веронезе

[GYNJ]

Рассматривается отображение $\mathbb{P}^{1} \to \mathbb{P}^{d}$ такое что $(x_{0}: x_{1}) \to (x^{d}_{0}:x^{d-1}_{0}x_{1}:...: x^{d}_{1} )$ -это кривая Веронезе(ну образ точнее).

Вот частный вопрос: $\mathbb{P}^{1} \to \mathbb{P}^{2}$: $(x_{0}: x_{1}) \to (x^{2}_{0}:x_{0}x_{1}:x^{2}_{1} )$
Что представляет собой эта кривая? Вот, например, на аффиных картах $x_{0}=1$ или $x_{1}=1$ это параболы, как я понимаю.

Есть еще такое определение: берутся конфигурации из d точек в $\mathbb{P}^{1}$, то кривой Веронезе называют то, что получается из конфигураций, после того как d точек каждой конфигурации "слипнется" в одну. Как понять это определение вообще? Почему вообще кривая выходит после такой операции и как это определение эквивалентно первому?

[Slav-27]

Векторное пространство $V$ вкладывается в свою симметрическую степень $S^dV\subset V^{\otimes d}$: $v$ переходит в $v\otimes...\otimes v$. Вложение Веронезе есть индуцированное отображение проективизаций $\mathbb PV\to\mathbb PS^dV$.

Его образ изоморфен $\mathbb PV$ (в вашем примере -- проективной прямой). Вообще пусть $A_\bullet$ -- кольцо, градуированное неотрицательными целыми числами, $A_{d\bullet}$ -- его подкольцо $\bigoplus\limits_nA_{dn}$. Тогда $\operatorname{Proj}A_\bullet$ и $\operatorname{Proj}A_{d\bullet}$ изоморфны. Предыдущее -- частный случай $A=k[x_0,...,x_n]$ с обычной градуировкой.

Второе "определение" не понимаю. Конфигурации из $d$ точек $X$ -- это $X^d$ (произведение), а дальше что?..

[GYNJ]

Slav-27 в сообщении #1508460 писал(а):

Конфигурации из $d$ точек $X$

Это просто d точек на $\mathbb{P}_{1}$, ну а дальше происходит с этими конфигурациями именно то, что я сказал- d точек каждой конфигурации соединяют в одну

я на всякий случай прикреплю ссылку на конспект: http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/giag_ru/giag.pdf
Там в конце 11-ой страницы это определение дано.
Я просто не понимаю что означает "слипаются" -слишком свободно звучит...

Из первого примера я не понимаю что их себя представляют эти кривые даже в маломерных случаях (ну кроме отображения $ \mathbb{P}_{1} \to \mathbb{P}_{1} $- здесь все просто очень ), но оно хотя-бы формально дано и с ним можно работать, а второе скорее интуитивное определение, я полагаю.