Максимальный вектор оператора.

[inevitablee]

Здравствуйте. Сначала на всякий случай выпишу определение: максимальным вектором оператора называется вектор, норма которого равна единице и при действии на него оператором получается вектор, норма которого равна норме оператора (в соответствующих пространствах). Так вот есть такая задачка: придумать пример ограниченного оператора, который не имеет максимального вектора.
Проблема в том, что во всех учебных примерах удается получить только оценку сверху для нормы оператора, но не само значение этой нормы.

[mihaild]

inevitablee в сообщении #1508004 писал(а):

Проблема в том, что во всех учебных примерах удается получить только оценку сверху для нормы оператора, но не само значение этой нормы

А можете привести пример оператора и оценки нормы?

[ewert]

inevitablee в сообщении #1508004 писал(а):

Проблема в том, что во всех учебных примерах удается получить только оценку сверху для нормы оператора, но не само значение этой нормы.

Ну, положим, не во всех. Достаточно часто встречаются задачки, где надо найти именно норму.

Во всяком случае, Вам нужны 1) бесконечномерное пространство и 2) оператор с непустым непрерывным спектром.

Проще всего взять какую-нибудь ортонормированную последовательность (любую) и построить по ней самосопряжённый оператор, для которого элементы последовательности были бы собственными векторами. Надо только придумать подходящую последовательность собственных чисел (что тривиально).

Если же хочется конкретнее, то возьмите в $l_2$ подходящий диагональный оператор (в соответствии с предыдущей идей).

[inevitablee]

ewert
Но ведь у такого диагонального оператора норма как раз будет достигаться на элементе с единичной нормой, а мне нужно обратное.

[ewert]

Не будет, если последовательность с.ч. выбрать очевидно какой.

-- Сб мар 06, 2021 16:21:13 --

Ладно, подскажу чуть конкретнее. В чём прелесть самосопряжённых операторов? -- в том, что их нормы равны максимальному (по модулю) собственному числу. Но только если таковое существует, естественно.

[inevitablee]

ewert
Я понял следующее - мне нужно, во-первых, чтобы любой вектор единичной нормы был собственным вектором моего оператора. Второе, нужно, чтобы оператор был самосопряженным, тогда его норма это супремум собственных значений. Тогда если этот супремум не достигается, то я как раз получу то, что нужно.
Диагональный оператор поставит в соответствие числовой последовательности другую, члены которой те же, что и у предыдущей, но умножены на члены последовательности $\lambda$. Дальше не понимаю, что делать.

[Null]

inevitablee в сообщении #1508161 писал(а):

чтобы любой вектор единичной нормы был собственным вектором моего оператора

Нет.

inevitablee в сообщении #1508161 писал(а):

Диагональный оператор поставит в соответствие числовой последовательности другую, члены которой те же, что и у предыдущей, но умножены на члены последовательности $\lambda$.

Что такое $\lambda$? На диагонали могут стоять разные числа.

[inevitablee]

Null
Видимо, я не очень понимаю, о чем речь. Мне вообще не доводилось оперировать с пространствами $l_2$ и т.д, только сейчас загуглил. Под $\lambda$ я понимаю всю последовательность.

[mihaild]

inevitablee в сообщении #1508166 писал(а):

Под $\lambda$ я понимаю всю последовательность

Тогда всё правильно. Просто обычно $\lambda$ в таком контексте обозначает собственное число.

inevitablee в сообщении #1508161 писал(а):

Дальше не понимаю, что делать

Найти норму этого оператора.

[inevitablee]

mihaild
Если я правильно понимаю, что в этом пространстве норма элемента это супремум членов его последовательности, то тогда норма этого оператора равна супремуму последовательности $\lambda$.

[mihaild]

inevitablee в сообщении #1508168 писал(а):

в этом пространстве норма элемента это супремум членов его последовательности элемента

Нет, это в $l_\infty$ такая норма (ну и в $c_0$). Можно рассмотреть одно из них (найдёте точное определение?), можно взять $l_2$.

inevitablee в сообщении #1508168 писал(а):

его норма равна супремуму последовательности $\lambda$

Доказать можете?
(это на самом деле не совсем правда, рассмотрите случай $\forall i: \lambda_i = -1$ - какой тут супремум? а норма?)

[inevitablee]

mihaild
https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space Здесь написано, что если $0<p<1$, то в таком пространстве не задана норма.
В этом случае норма $1$, а супремум $-1$, надо было сказать модуль супремума, наверное.

-- 07.03.2021, 00:17 --

https://imgur.com/a/xXY7gpg

[inevitablee]

mihaild
Может быть, стоит взять последовательность чисел, сходящуюся, например, к числу $e$ и тогда максимального вектора не будет?

[svv]

Да, именно. В Вашем примере позаботьтесь, чтобы модули собственных чисел не превосходили и даже не достигали $e$.