Скорость падения уровня жидкости

[serval]

Имеются два плоских резервуара, каждый из которых имеет форму равностороннего прямоугольного треугольника, расположенные так, как показано на рисунке.



Резервуары содержат равные объёмы жидкости, на рисунке она обозначена синим цветом.
В нижнем основании правого резервуара и в нижней вершине левого одновременно открывают отверстия одинакового сечения, через которые начинает вытекать жидкость.
Требуется найти скорость падения уровня жидкости $v(t)$ , в зависимости от времени, в каждом резервуаре.

Решение.

$\displaystyle \frac{dV}{dt}=C,\ C=Const$ - скорость убывания объёма постоянна и одинакова в обоих резервуарах.

$dV=L\cdot dS$ где $L$ - ширина резервуаров, а $dS=\displaystyle \frac{1}{2}(x+x)dx$ - площадь элементарной трапеции. Пусть ширина резервуаров $L=1$ , тогда

$x\ \displaystyle \frac{dx}{dt}=C$ где $\displaystyle \frac{dx}{dt}=v$ - искомая скорость падения уровня. Тогда

$v=\displaystyle \frac{C}{x}$

Ясно, что в левом резервуаре падение уровня жидкости будет ускоряться, а в левом - замедляться. Как это выразить?

И как учесть то, что со временем площадь поверхности жидкости в левом резервуаре уменьшается, а в правом - увеличивается?

[Евгений Машеров]

1. Что скорость убывания объёма постоянна - условие задачи "иль всё же прав упрямый Галилей Эванжелиста Торричелли"?
2. А как влияет площадь поверхности жидкости?

[serval]

1. Прав Торричелли. Я совсем всё забыл.
2. Из обоих сосудов за равное время вытекают равные объёмы жидкости, но, в одном случае, площадь поверхности, входящая в объем, убывает, а в другом - возрастает. Чувствую, что и тут я путаюсь в чём-то простом.

[Евгений Машеров]

Резервуар плоский глубиной l. Тогда, если вытек объём жидкости dv, уровень жидкости h изменился на $dh=\frac {dv} {S(h)}= \frac {dv} {hl}$ в одном случае и $dh=\frac {dv} {S(h)}= \frac {dv} {(H-h)l}$ А про dv спросите у итальянца, он точно знает!

[serval]

Спасибо. Здесь dv и $dv$ это элементарный объём вытекшей жидкости? Или в последнем предложении dv это скорость?

[Emergency]

serval в сообщении #1507841 писал(а):

Здесь dv и $dv$ это элементарный объём вытекшей жидкости?

Выше же написано:

Евгений Машеров в сообщении #1507838 писал(а):

если вытек объём жидкости dv

А разница в написании от не/использования текса.

[serval]

Всё равно не понимаю.
Упростим задачу до предела.

Условие:
Пусть имеется открытый кубический сосуд с ребром длины $H$ заполненный водой. В момент времени $t_0=0$ в основании сосуда открывается отверстие, через которое начинает вытекать вода.
Требуется:
1. Найти время $t$ за которое вода полностью вытечет из резервуара.
2. Найти скорость падения уровня воды $v_h$ .

Объём воды вытекшей за время $t$ составляет $V=s\ v_a t$ , где:

$s$ - площадь сечения отверстия,

$\displaystyle v_a=\sqrt {2\ gh}$ - скорость истечения воды из малого отверстия,

$h=H-v_ht$ - уровень воды в сосуде.

При этом, и уровень воды $h(t)$ , и скорость её истечения $v_a(t)$ , и скорость падения уровня $v_h(t)$ зависят от времени.

Как учесть малость площади отверстия $s$ не нарушив условия применимости формулы Торричелли?

Пожалуйста, подскажите, где я думаю неправильно.

[Евгений Машеров]

serval в сообщении #1508224 писал(а):

$h=H-v_ht$ - уровень воды в сосуде.

Нет.

[serval]

В начальный момент времени $t_0$ вода имеет уровень $H$ и начинает убывать со скоростью $v_h$ .
За время равное $t$ начальный уровень убывает на величину $v_ht$.
Таким образом, в момент времени $t$ уровень воды $h$ имеет величину $h=H-v_ht$ .

В чём ошибка?

[ИСН]

В том, что $v_h$ - величина переменная.

-- менее минуты назад --

Вы же это понимали два сообщения назад.

[Евгений Машеров]

serval в сообщении #1508246 писал(а):

В начальный момент времени $t_0$ вода имеет уровень $H$ и начинает убывать со скоростью $v_h$ .
За время равное $t$ начальный уровень убывает на величину $v_ht$.
Таким образом, в момент времени $t$ уровень воды $h$ имеет величину $h=H-v_ht$ .

В чём ошибка?

В том, что это не алгебраическое уравнение, а дифференциальное.

[redicka]

serval, эта задача древняя как мир. (Или Вам забанили google) ?

[serval]

Евгений Машеров в сообщении #1508252 писал(а):

В том, что это не алгебраическое уравнение, а дифференциальное.

Ясно, что дифференциальное. Как составить нужный дифур?

serval в сообщении #1508224 писал(а):

1. Найти время $t$ за которое вода полностью вытечет из резервуара.
2. Найти скорость падения уровня воды $v_h$ .

Вот вопросы задачи. Я не требовал решить их алгебраически. Напротив - сразу использовал дифференциалы. И затруднялся именно в этом, в чём и просил помощи.
Я удивлён, что моя просьба была неочевидна профессионалам, и формулирую её явно - как решить поставленную мной задачу с помощью дифференциальных уравнений?

(Оффтоп)

Как будто, её можно решить как-то иначе.

-- Вс мар 07, 2021 22:30:34 --

redicka в сообщении #1508259 писал(а):

эта задача древняя как мир. (Или Вам забанили google) ?

(Оффтоп)

Я, всего лишь, прошу помощи. Просто оказать её - это замарать свою честь?

[amon]

serval в сообщении #1508271 писал(а):

как решить поставленную мной задачу с помощью дифференциальных уравнений?

1. За время $dt$ из сосуда вытекла жидкость объемом $dV.$ Как изменилась высота $dh$ жидкости в сосуде?
2. Из отверстия площадью $S$ вытекает жидкость со скоростью $v.$ Какой объем $dV$ вытечет за время $dt?$
3. Как, зная ответы по предыдущим пунктам составить уравнение?

[Евгений Машеров]

0. Не "замарать честь", а "получить выговор от модератора за нарушение правил Форума". Давать готовые решения - запрещено. Я, пояснив выше, как учесть влияние изменения уровня воды, уже подставился под взыскание.
1. Как составлять? Для начала выбрать, изменение какой величины будет фигурировать в уравнении. В данном случае это может быть объём, уровень воды, скорость истечения и ещё что-нибудь.
Я бы (рискуя всё же получить втык) рекомендовал бы уровень воды. Он, очевидно, меняется с изменением объёма. Как? (подсказываю - Вы уже знаете). От чего, кроме количества вытекшей воды, зависит изменение уровня?
Что напрямую зависит от количества вытекшей воды? Уровень или какая-то (слово тщательно зачёркнуто) величина от него? Если такая величина выбрана - как выписать зависимость?
2. Определив что и от чего зависит, выписываем дифференциальное (это опять подсказка на грани фола) уравнение. И решаем его. И второе. Одно совсем просто, другое чуть сложнее. И отвечаем на поставленные в задаче вопросы.