Почему действие есть фаза?
Считайте пока это постулатом и не заморачивайтесь. Если так написать, то результат сойдется с тем, что получается в стандартной квантовой механике, где постулируется уравнение Шредингера. Сам Фейнман (Файнман, если правильно транслитерировать с английского) писал, что он придумал свои интегралы после того, как сообразил что слово "corresponds to" в фразе Дирака: "The transition amplitude corresponds to

for the short times" означает "равна с точностью до констатнты".